П. В. Корякин Институт математического моделирования ран, Москва




НазваниеП. В. Корякин Институт математического моделирования ран, Москва
Дата публикации06.07.2013
Размер94 Kb.
ТипДокументы
lit-yaz.ru > Математика > Документы
УДК 519.6 Доклады Академии Наук, информатика
БИКОМПАКТНЫЕ СХЕМЫ И СЛОИСТЫЕ СРЕДЫ
Член-корреспондент РАН Н.Н. Калиткин, П.В. Корякин
Институт математического моделирования РАН, Москва
1. Проблема. Для численного решения многих сложных задач математической физики широко используют т. наз. компактные разностные схемы (см. [1] и приведённую там литературу). Под компактными подразумевают схемы, которые имеют высокий порядок точности при небольшом числе узлов шаблона (например, 4-й – 6-й порядок точности при 3 узлах). Такие схемы сравнительно просто записываются, и обеспечивают высокую точность расчёта при умеренном числе узлов сетки.

Среди задач важное место занимают процессы в слоистых средах. В каждом слое коэффициенты уравнений являются многократно дифференцируемыми функциями координат, но на границах сред коэффициенты разрывны. Если разрыв находится между узлами шаблона, то схему высокого порядка точности составить практически невозможно. Поэтому границы слоёв выбирают в качестве узлов сетки (такие сетки называют специальными). Однако, если шаблон содержит три и более пространственных узла, то специальные сетки не спасают: если внутренний узел шаблона совпадает с границей, то приходится использовать аппроксимацию производных через разрыв. В этих узлах аппроксимация имеет пониженный порядок точности, что координально ухудшает общую точность расчёта. Использование в расчёте полуцелых узлов приводит к такому же эффекту.

В данной работе предлагается новый тип разностных схем, позволяющий решать такие задачи с высокой точностью. Будем составлять схемы, шаблон которых имеет только два узла по пространству, причём все величины берутся в целых узлах сетки. Такие схемы назовём бикомпактными. На специальных сетках в них нет аппроксимаций через разрывы. Поэтому возможно построение бикомпактных схем высокого порядка точности для слоистых сред. Ниже построены и исследованы бикомпактные схемы для одномерного параболического уравнения, а также указаны обобщения на другие типы уравнений.

2. Построение схем. 1. Рассмотрим первую краевую задачу для одномерного параболического уравнения:



Для аппроксимации второй производной нужен 3-точечный шаблон. Чтобы воспользоваться 2-точечным шаблоном, заменим  эквивалентной системой двух уравнений первого порядка:



Здесь есть тепловой поток. Граничные условия относятся только к первому из уравнений . Дополнительно требуется начальное условие для потока, отсутствовавшее в исходной постановке .

В неподвижной слоистой среде коэффициенты , имеют неподвижные разрывы. Между разрывами считаем их многократно непрерывно дифференцируемыми. Благодаря наличию разрывов решение будет обобщённым. Правильным является решение, в котором , всюду непрерывны. Система  дивергентна, поэтому она выделяет правильное решение из множества обобщённых решений.

Введём неравномерную специальную сетку с шагами . Схему для узловых значений построим методом прямых, интегрируя  по пространству:



2. Простейшую схему получим, вычисляя интегралы в  со вторым порядком точности. Поскольку сетка специальная, то внутри интервалов , - достаточно гладкие, и можно использовать их значения в полуцелых точках. Это даёт дифференциально-алгебраическую систему



Используя сдвиги индексов, можно исключить значения и преобразовать  к чисто дифференциальной системе: 

Хотя  формально является трёхточечной схемой, она эквивалентна двухточечной схеме , тем самым она сохраняет аппроксимацию для слоистых сред. Запись  удобнее  тем, что она не требует дополнительного начального условия .

3. Схему аппроксимации построим, вычислив интегралы в  по простейшей формуле Эйлера-Маклорена. Для простоты ограничимся случаем кусочно-постоянного в каждом интервале. Довольно громоздкими преобразованиями получаем чисто дифференциальную двухточечную систему 

Для неё дополнительное начальное условие необходимо.

4. Схемы метода прямых ,  являются системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Необходимо определить алгоритм их интегрирования по времени. Схему  можно записать в виде



где и - трёхдиагональные матрицы. Система  жёсткая, поэтому для интегрирования по времени выберем комплексный метод Розенброка (CROS) [2], на эффективность которого мы неоднократно указывали:



где символ ^ означает новый слой , а черта – момент . Схема CROS имеет аппроксимацию и L2-устойчивость, что обеспечивает высокую надёжность расчёта и результирующую аппроксимацию . Значение определяется решением линейной системы с трёхдиагональной матрицей, так что схема  экономична.

Схему  можно записать подобно , если объединить векторы неизвестных в единый вектор: . Для него система записывается аналогично , но с 5-диагональными матрицами. Её также следует решать схемой CROS аналогично . Тогда результирующая схема имеет аппроксимацию .

5. Для p-кратных непрерывно дифференцируемых коэффициентов решение задачи  является (p+2)-кратно дифференцируемым всюду, кроме границы пространственно-временной области и границ слоёв. На границах слоёв и сохраняют непрерывность. Отсюда видно, что бикомпактные схемы  и  на специальных сетках сохраняют свои теоретические порядки аппроксимации при , соответственно.

3. Устойчивость. 1. При и устойчивость нетрудно исследовать методом гармоник. Для  в сочетании с  множитель перехода со слоя на слой для m-й гармоники имеет следующий вид:




Отсюда видно, что , так что схема А-устойчива и, тем самым, безусловно устойчива. Наличие члена с обеспечивает L2-устойчивость схемы.

Структура выражения  такова же, как для традиционных не бикомпактных схем с использованием метода CROS. Однако имеется интересное отличие: в  стоит тангенс, а в традиционных – синус. Для низших гармоник с это отличие почти незаметно. Однако, старшие гармоники с в  затухают гораздо быстрее, чем в традиционных схемах. Это существенно усиливает подавление высокочастотных шумов и обеспечивает лучшее качественное поведение численного решения.

2. Для  в сочетании с  множитель по-прежнему имеет вид , обусловленный применением метода CROS. Однако, вместо величин  в него входят следующие две ветви:



Плюсовая ветвь не появляется в традиционных схемах; она обеспечивает очень быстрое гашение некоторых форм возмущений. Минусовая ветвь похожа на традиционные. Её начало близко к , но далее она соответствует зависимости не с тангенсом, а с синусом. Тем самым, в схеме  шумы подавляются примерно как в классических схемах и гораздо слабее, чем в схеме . Поэтому можно ожидать худшего поведения этой схемы на решениях с особенностями.

3. Из аппроксимации и устойчивости обеих схем следует, что они сходятся, и порядок точности равен порядку аппроксимации. Это справедливо при указанной выше гладкости решения.

^ 4. Численные расчёты. 1. Для схемы  было проведено много разнообразных тестов. Рассматривались случаи однородной среды, слоистой среды, непрерывных или разрывных начальных данных, равномерной или неравномерной сетки (включая пилообразную сетку, нечётные и чётные шаги которой соотносятся как 1/2). При всех комбинациях этих условий фактическая точность расчёта проверялась сгущением сеток по методу Ричардсона при сохранении отношения . Во всех рассмотренных случаях фактическая точность расчёта оказалась .

Заметим, что если начальный профиль разрывен, то нарушено предположение о непрерывности, сделанное при выводе схемы. В этом случае возникает вопрос, какое значение начальных данных поставить в точке разрыва. Оказалось, что его надо выбирать так, чтобы выполнялся закон сохранения тепла в системе:



здесь n – номер точки разрыва, а значения справа и слева берутся из начальных данных. При иной постановке начальных данных на разрыве, второй порядок точности не обеспечивался.

2. Для схемы  требуются начальные данные . Для получения точности выберем их из закона сохранения



Тогда численные расчёты дают точность в тех случаях, когда начальные профили и являются непрерывными. Это выполняется даже на слоистых средах и пилообразных сетках.

Приведём пример задачи  со следующими данными:



Профили решения на начальный и конечный моменты показаны на рис. 1-2. Отчётливо видны изломы всех профилей и начального профиля на границе слоёв . На рис.3 изображена зависимость погрешности от числа узлов пространственной сетки в двойном логарифмическом масштабе. Наклон графика соответствует четвёртому порядку точности.

Если любой из начальных профилей , разрывен, то даже в случае однородной среды и равномерной сетки схема  давала точность только . Причина очевидна: при составлении схемы неявно использовалось предположение о непрерывности этих величин всюду. Как отмечалось выше, шумы в этой схеме подавляются недостаточно сильно. Поэтому для сглаживания следа начального разрыва требуется большее время. Действительно, если для момента сравнения выбирать заметно большее значение t, то и в этом случае схема покажет точность .

3. Для получения точности можно предложить следующий способ. Проведём расчёты на сгущающихся сетках по схеме , которая хорошо подавляет шумы. Затем проведём экстраполяцию по Ричардсону, исключив главный член погрешности . Поскольку схема симметрична, то погрешность содержит только чётные степени шагов, и полученный результат будет иметь точность .

Численные расчёты подтвердили это. Таким путём была получена указанная точность даже в том случае, когда среда была слоистой, сетка – пилообразной, а начальные данные – разрывными.

5. Обобщения. Видно, что бикомпактные схемы являются эффективным средством решения задач в слоистых средах. Такие схемы можно писать не только для параболических уравнений. Например, для уравнения переноса схема естественно записывается в пределах одной ячейки, и тем самым оказывается бикомпактной. Гиперболическое уравнение (уравнение акустики) можно записать в форме двух уравнений первого порядка:

, c - скорость звука.

Выбирая значения в узлах сетки, нетрудно составить бикомпактную схему аппроксимации



Систему обыкновенных дифференциальных уравнений  решают схемой CROS, получая в итоге аппроксимацию . Такая точность подтверждается численными расчётами для слоистых сред и разрывных начальных данных. Возможно построение схем и более высокого порядка аппроксимации.

Бикомпактные схемы имеют ещё одно преимущество. В неограниченной области можно проводить расчёты краевых задач, используя квазиравномерные сетки и ставя граничное условие непосредственно на бесконечности [3]-[4]. Практика расчётов показала, что при использовании бикомпактных схем, качественное поведение численного решения оказывается более хорошим, чем для многоточечных схем (не возникает счётная рябь).

Работа поддержана грантами РФФИ 05-01-00144 и 05-01-00152, грант Фонда содействия отечественной науке

^ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. // Наука, 1990, 230 с.

2. Rosenbrock H.H. Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations. // Comput. J. 1963. V.5. №4. P.329330.

3. Калиткин Н.Н., Кузнецов Н.О., Панченко С.Л. Метод квазиравномерных сеток в бесконечной области. // ДАН, 2000. – Т.374, № 5. – С. 598-601

4. Альшина Е.А., Калиткин Н.Н. Вычисление спектров линейных дифференциальных операторов. // ДАН, 2001. – Т.380, № 4. – С.443-447.

Подписи к рисункам:

Рис. 1. Профили температуры в различные моменты времени.

Рис. 2. Профили потока в различные моменты времени.

Рис. 3. Зависимость погрешности решения от числа узлов сетки.

Автореферат.

Калиткин Н.Н, Корякин П.В. Бикомпактные схемы и слоистые среды. Доклады АН.
Предложен новый тип разностных схем – бикомпактные схемы. Для их написания уравнения в частных производных сводятся к системе дивергентных уравнений первого порядка как по времени так и по пространству. Все счётные величины берутся в узлах сетки. По пространству применяется интегро-интерполяционный метод аппроксимации в пределах только одного интервала сетки. По времени применяется комплексная схема Розенброка. Такие схемы сохраняют аппроксимацию на слоистых средах, если границу среды выбрать узлом сетки. Хорошее качество этих схем подтверждено теоретическим анализом и численными расчётами.

Рис. 3, библ. 4 назв.

^ The bicompact schemes and layered media.

N.N. Kalitkin, P.V. Koryakin

Калиткин Николай Николаевич

Институт математического моделирования РАН

Москва 125047, Миусская пл., д. 4, корп. А

Сл. тел. (495)250-97-26

Дом. тел. (499)196-26-05

Эл. почта: kalitkin@imamod.ru (в том числе для корректуры)
Корякин Павел Владимирович

Институт математического моделирования РАН

Москва 125047, Миусская пл., д. 4, корп. А

Сл. тел. 250-97-26

Эл. почта: pavel.koryakin@gmail.com (в том числе для корректуры)



Рис. 1.


Рис. 2.


Рис. 3.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

П. В. Корякин Институт математического моделирования ран, Москва iconП. В. Корякин Институт математического моделирования ран, Москва
Особенно актуально применение таких схем при решении задач в слоистых средах, в которых в каждом из слоёв коэффициенты уравнений...

П. В. Корякин Институт математического моделирования ран, Москва iconБикомпактные разностные схемы и численная диагностика особенностей
Работа выполнена в отделе физико-химических свойств вещества Института математического моделирования ран

П. В. Корякин Институт математического моделирования ран, Москва iconБикомпактные разностные схемы и численная диагностика особенностей
Работа выполнена в отделе физико-химических свойств вещества Института математического моделирования ран

П. В. Корякин Институт математического моделирования ран, Москва iconСамосогласованная микрополевая модель неидеальной плазмы
Работа выполнена на механико-математическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова и в Институте...

П. В. Корякин Институт математического моделирования ран, Москва iconЦентр исследований Вяч. Иванова в Риме Институт итальянской культуры...
А. В. Юдин (Католическая энциклопедия, Москва). Россия и Вселенская Церковь: случай Вяч. Иванова

П. В. Корякин Институт математического моделирования ран, Москва iconВ. А. Геодакян Россия, Москва, Институт проблем экологии и эволюции им. А. Н. Северцова, ран
«asynchronous» theories are needed. This article suggests a theory, which gives interpretations and predictions

П. В. Корякин Институт математического моделирования ран, Москва icon; 551. 46 Результаты экогеохимических исследований донных осадков...
Институт океанологии им. П. П. Ширшова ран, 119891, Москва, Нахимовский пр-кт,36

П. В. Корякин Институт математического моделирования ран, Москва icon; 551. 46 Результаты экогеохимических исследований донных осадков...
Институт океанологии им. П. П. Ширшова ран, 119891, Москва, Нахимовский пр-кт,36

П. В. Корякин Институт математического моделирования ран, Москва iconВ. А. Геодакян Институт проблем экологии и эволюции им. А. Н. Северцова ран. Москва
В сб.: "Теория информации и искусствознание", 2008. Вып. Ин-т искусствознания под эгидой Межд. Акад информатики

П. В. Корякин Институт математического моделирования ран, Москва iconМетоды вычислений с контролем точности на квазиравномерных сетках
Работа выполнена в Институте математического моделирования Российской Академии Наук



Образовательный материал



При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
lit-yaz.ru
главная страница