Анализ линейных цепей




Скачать 268.79 Kb.
НазваниеАнализ линейных цепей
страница1/2
Дата публикации14.07.2013
Размер268.79 Kb.
ТипДокументы
lit-yaz.ru > Математика > Документы
  1   2
5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ И ЧАСТОТНЫЙ

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
5.1. Разложение сигналов по системам взаимно-ортогональных

функций

Заданный сигнал S(t) при условии, что т.е. энергия сигнала ограничена, что справедливо для всех реально существующих сигналов, можно разложить в ряд по системе взаимно-ортогональных функций.

В этом случае сигнал S(t) может быть представлен в виде:


(5.1)

Соотношение (5.1) представляет собой обобщенный ряд Фурье, где коэффициенты, - функции, называемые базисными функциями, должны быть непрерывны в области определения , и удовлетворять условию ортогональности.
(5.2)

в (5.2) -норма функции ;

 некоторое постоянное число.

Если , базисную функцию называют ортонормированной.

Найдем коэффициент , для чего представим (5.1) следующим образом: (5.3)

т.к. все члены суммы в правой части вида при равны нулю, (5.3) будет иметь вид:

,

откуда - коэффициент обобщенного ряда Фурье.

При усечении числа членов ряда (5.1) до N имеет место погрешность представления сигнала S(t) в виде ряда и можно показать, что:

(5.4)

Это неравенство Бесселя.

Если -величина комплексная, то

(5.5)
* - знак сопряженной величины и .

Рассмотрим энергетические соотношения при разложении сигнала в обобщенный ряд Фурье.

Энергия электрического сигнала , заключенная в интервале , выражается соотношением:

(5.6)

-энергия, выделяемая на сопротивление в 1 Ом за время .

Соответственно ; мощность сигнала.

Устремляя в соотношении (5.4), можем сделать ошибку усечения ряда в пределе сколь угодно малом и получим равенство:
(5.7)

Это равенство Парсеваля.

Если то (5.8)

Соотношение (5.8) свидетельствует о том, что полная энергия сигнала в интервале при разложении его в обобщенный ряд Фурье равна .

В качестве базисных функций, как было показано выше, может быть использована любая ортогональная система функции. Таких функций известно множество, однако, в технике связи и автоматики используются гармонические функции, а также ряд специальных функций: Лагерра, Лежандра, Уолша, Бесселя и др.

Выбор базисной функции производится из соображений:
1. Минимизации числа членов ряда N при достижении заданной точности представления сигнала обобщенным рядом Фурье. 2. Простотой аппаратурной реализации генерирования базисной функции.
5.2. Разложение сигнала в базисе гармонических функций

5.2.1. Экспоненциальный ряд Фурье

Пусть сигнал определен на интервале 0t и является периодическим:

n=0, 1, 2, 3…

В качестве базисной функции возьмем экспоненциальную функции вида ,где .

Запишем ряд Фурье (5.1) в виде: (5.9)

Это экспоненциальный ряд Фурье.

Для вычисления необходимо найти , а также следует убедиться в том, что данная базисная функция удовлетворяет условию ортогональности.



Легко показать также, что при .

В самом деле:

Отметим еще раз, что Tпериод колебания. Учитывая сказанное, получим выражение для в виде:

(5.10)

5.2.2. Тригонометрический ряд Фурье
В инженерной практике чаще используется тригонометрическая

форма ряда Фурье.

Из (5.10) следует, что величина в общем случае комплексная и может быть представлена в виде:
; ;

Запишем (5.9) в виде:
Суммируя по обе стороны 0-ые члены с одинаковыми индексами и учитывая, что , имеем

(5.11)

(5.11)- тригонометрическая форма ряда Фурье.

Представив
и обозначив

получим следующую модификацию тригонометрического ряда:

. (5.12)


Заметим, что

Разложение сигнала в ряд (5.9) и (5.12) представляет сигнал в виде вектора в многомерном пространстве, где члены ряда есть проекции вектора на координатные оси x, y, z,… Координатные оси - орты и есть базисные функции.

В данном случае или .
ПРИМЕР 5.1

Разложить сигнал (рис.5.1),представляющий собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов, в экспоненциальный ряд Фурье. Длительность импульса, амплитуда U, период T.




Рис. 5.1


Вычислим коэффициенты ряда:



sinc x -интегральный синус ;

.

Подставив , получим: .

Учитывая, что sinc x функция четная: sinc x=sinc(-x) запишем экспоненциальный ряд Фурье в виде: .
5.3. Спектр периодического сигнала
Множество называется комплексным спектром периодического сигнала.

Множество составляет амплитудный спектр.

Множество составляет фазовый спектр.

Рассмотрим картину спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (см. пример 5.1).

При этом в качестве спектральных составляющих будем брать коэффициенты тригонометрического ряда Фурье, где модуль удваивается.



Рис. 5.2

Отметим, что коэффициент существует только в точках кратных

Рис.5.2 изображает амплитудный спектр заданного сигнала. Пунктирная линия является огибающей амплитудного спектра и равна 0 в точках, где и т.д.,отсюда:



Частотный интервал заключает в себя первую полуволну огибающей спектра (первый лепесток), - вторую полуволну и т.д.



Фазовый спектр данного сигнала изображен на рис.5.3.



Рис. 5.3
На рис. 5.3 видно, что изменяется ступенчато с интервалом , что связано с периодическим изменением знака .

ПРИМЕР 5.2
Разложить в тригонометрический ряд Фурье сигнал , представляющий собой знакопеременную периодическую последовательность прямоугольных импульсов  меандр (рис.5.4).Амплитуда сигнала U, период Т.

В соответствии с (5.11):
;




Рис. 5.4





Согласно выбранному началу отсчета функция нечетная и

соответственно равны 0.



Таким образом, .

(см.п.5.2.2)

Запишем в виде:



Построим спектральную диаграмму до n=7.



Спектральная диаграмма данного сигнала изображена на рис.5.5.



Рис. 5.5

Легко видеть, что и ряд Фурье имеет вид:

.

Рассмотренный пример позволяет дать прозрачную физическую трактовку понятию спектра периодического сигнала.

Коэффициенты являются амплитудами мгновенных значений токов или напряжений частот -их начальными фазами.

В самом деле:

и т.д.

Суммируя члены ряда Фурье, можно восстановить временную форму сигнала.

На примере периодической последовательности равноотстоящих импульсов (Рис.5.1) рассмотрим точность представления сигнала в зависимости от числа членов ряда (Рис.5.6, а, б, в, г, д, е, ж).
Амплитуда импульса U= 1 Вольт

Длительность = 0,1 миллисекунда

Период T= 0,2 миллисекунды

N-число членов ряда.


N=1

а)


N=3

б)


N=5

в)

N=11


г)



N=21


д)



N=101

е)

N=1001

ж)

Рис. 5.6
Разложение в ряд Фурье периодических сигналов позволяет решить, по меньшей мере, две практически важные задачи:

1.Определение с достаточной для инженерной практики точностью ширины спектра сигнала.

Хотя ряд Фурье бесконечен, можно брать конечное число членов ряда, оговорив заранее ошибку "усечения" ряда.

В соответствии с равенством Парсеваля,

(5.13) Используя принятый в практике критерий, что ошибка "усечения" ряда не должка быть больше 0,1 и на основе (5.13) запишем:

. (5.14)

и, таким образом, верхняя ширина спектра сигнала .

2. Синтез сигнала заданной формы.

Задан спектр сигнала в обобщенном базисе .

Необходимо аппаратурным путем синтезировать данный сигнал, т.е. восстановить его временную форму .

Принцип действия синтезатора сигнала в обобщенном базисе поясняется на рис.5.7.

Рис. 5.7

Как уже упоминалось выше, необходимое число членов ряда для достижения заданной точности совпадения и зависит от вида базисной функции .
5.4. Спектр непериодического сигнала

Предельным случаем периодического сигнала является одиночный

сигнал: импульс, "пачка" импульсов и т.д. (рис.5.8,а,б,в).
Рис. 5.8
Для вычисления спектра непериодического сигнала предположим, что сигнал периодический с (рис. 5.9),




Рис. 5.9
и используем это предположение для получения аналитического выражения спектра данного сигнала.

Запишем для экспоненциальный ряд Фурье:

(5.15)

где

(5.16)

Учитывая (5.15), (5.16) и полагая, что при

а - текущая частота, преобразуем сумму бесконечно малых величин в интеграл.
Запишем: (5.17)

Введем обозначение:

(5.17а)

Тогда (5.17) примет вид:

(5.18)

Выражения (5.17а) и (5.18) представляют собой соответственно формулы прямого и обратного преобразования Фурье. В литературе для указанных преобразований приняты следующие условные

обозначения:

,

- является непрерывной функцией частоты и представляет собой спектральную плотность сигнала.

В дальнейшем спектральную плотность будем называть спектром.

В общем случае величина - комплексная и может быть представлена в виде:

,

где

- спектральная плотность амплитуд-амплитудный спектр;

- спектральная плотность фаз - фазовый спектр.

ПРИМЕР 5.3

Вычислить спектр одиночного прямоугольного импульса(рис.5.10).





Рис. 5.10


Амплитудный и фазовый спектры изображены на рис.5.11,а,б.

Рис. 5.11

Основные свойства спектра непериодического сигнала.

1.Спектр непериодического сигнала сплошной - непрерывная функция .

2.Размерность спектра непериодического сигнала: [размерность сигнала ].

Таким образом, спектр непериодического сигнала можно трактовать, как плотность амплитуд мгновенных значений тока или напряжения на единицу частоты.

3.Кривая спектра непериодического сигнала совпадает с огибающей спектра периодического сигнала такой же формы с учетом масштабного коэффициент.

Сравнительная характеристика спектров периодического и непериодического сигналов.

Периодический сигнал



-дискретная функция.



Непериодический сигнал



; -непрерывная функция .
Огибающиеи совпадают (с точностью до масштабного коэффициента) (рис.5.12,а,б).

Рис.5.12

Физический смысл:

- амплитуда мгновенного значения колебания тока или напряжения частоты .

- плотность амплитуд тока или напряжения на единицу частоты.
5.5. Основные теоремы о спектрах

5.5.1. Теорема линейности

Спектр суммы сигналов равен сумме спектров слагаемых сигналов.





Доказательство:



Следствие: если ,то .

Иногда данное следствие называют теоремой пропорциональности.
5.5.2. Теорема запаздывания

Спектр сигнала, запаздывающего на фиксированное время

(рис. 5.13), равен спектру исходного сигнала, умноженного на .





Рис. 5.13

Доказательство:



Производим замену переменных интегрирования:





Представляя и в показательной форме и выделяя модуль и фазу, получим:



Отсюда следует важный вывод, что при передаче сигнала по неискажающей (идеальной линии) имеет место только запаздывание сигнала, определяемое временем его распространения вдоль линии , при этом модуль спектра сигнала остается без изменения, а фазовый сдвиг изменяется на величину , т.е. прямо пропорционально
5.5.3. Теорема сжатия (изменения масштаба)

При изменении длительности сигнала в раз модуль и аргумент комплексного спектра изменяются обратно пропорционально .

Пусть (при - имеет место сжатие сигнала,

при - расширение сигнала), тогда .
Доказательство:

Произведя замену переменных

,

получим:



Из данной теоремы следует практически важный вывод: при сжатии сигнала спектр его расширяется прямо пропорционально коэффициенту сжатия, а модуль уменьшается в раз.
5.6.4. Теорема о спектре произведения двух сигналов (теорема свертки)

Спектр произведения двух сигналов равен свертке этих сигналов.

Пусть

тогда (5.19)

Правая часть выражения (5.19) называется интегралом свертки функций и и имеет специальное обозначение:

.

Доказательство:

(5.20)

Представим в виде:

и положим

Тогда соотношение (5.20) примет вид:



Учитывая, что



Запишем в виде:

(5.21)

Соотношение (5.21) и представляет собой свертку спектров сигналов и .

Аналогично можно показать, что, если то



т.е. произведению спектров двух сигналов соответствует свертка их временных функций.

Из теоремы свертки следует очень важный вывод:

положив в (5.21) и заменяя на , получим

(5.22)

Если , то

- полная энергия сигнала.

Tогда, учитывая (5.22), можно записать:



Так как функция четная относительно ,

то - равенство Парсеваля.

5.5.5 Теорема дифференцирования

(Доказательства теорем п.п. 5.5.5 и 5.5.6 см.,например,в [4]).

Если при , т.е. имеет затухающий с течением времени сигнал,

то при .
5.5.6. Теорема интегрирования

Если , то

5.6. Спектры некоторых типовых сигналов
5.6.1. Спектр единичной функции включения

.

Интеграл в правой части не определен, так как функция в бесконечности не определена.

Применим следующий искусственный прием: представим заданный сигнал в виде ;

- некоторая фиксированная постоянная, которую затем устремим к нулю.


Итак, для единичного скачка при (см. рис. 5.14), однако, для функция снова не определена.


Рис. 5.14
Определим в точке .

Представим в виде:

(5.23)

Первое слагаемое (5.23) равно 0 при и, одновременно, при обращается в , но мы можем вычислить площадь функции, которая при всех значениях - постоянная величина.

В самом деле:

.

Для фиксации площади в точке умножим полученный результат на

Таким образом, окончательно:

.

Данное выражение характеризует спектральную плотность сигнала во всей области частот: .

5.6.2. Спектр единичного импульса



,(*)

*- см.фильтрующее свойство - функции.

На рис. 5.15 изображен график спектра






Рис. 5.15
Итак, модуль спектра единичного импульса равен единице в пределах и энергия спектра в соответствии с равенством Парсеваля равна , что еще раз свидетельствует о том, что единичный импульс является математической идеализацией и технически реализован быть не может.


Смещенный на единичный импульс.



, (*)

*-см. теорему запаздывания.

Используя обратное преобразование Фурье (5.18), получим весьма полезное соотношение:

. (5.24)

В самом деле:

5.6.3 Спектр сигнала, умноженного на экспоненту
.



5.6.4. Спектр экспоненциального сигнала



Как было показано в п.п.5.6.2,

,

произведя в (5.24) замену , получим

. (5.25)

Выражение (5.25) используется для определения спектра гармонического сигнала.
5.6.5. Спектр гармонического сигнала


Напоминаем, что






Рис.5.16
Можно показать также, что, если ,то .

Итак, спектр гармонического колебания дискретный и содержит две составляющие:-(см.рис. 5.16).

Рассмотренные выше спектры типовых сигналов позволяют решать задачи, связанные с вычислением спектров сложных сигналов.

ПРИМЕР 5.4

Вычислить спектр тонального телеграфного импульса (рис. 5.17).


Рис. 5.17

- огибающая гармонического колебания - прямоугольный импульс с амплитудой и длительностью (на рис.5.17 огибающая изображена пунктирной линией).

Вычислим спектр огибающей:
,



Используя результаты п.5.6.3, можем непосредственно записать:
Модуль спектра сигнала изображен на рис.5.18.

Рис. 5.18

Из рис.5.18 видно, что умножение сигнала на гармоническое

колебание с частотой переносит его спектр на частоту вдоль оси , при этом и зеркальное отображение спектра исходного сигнала или часть его (в зависимости от величины ) оказываются в области положительных частот, т.е. спектр может быть в 2 раза шире при .

ПРИМЕР 5.5

Вычислим спектр амплитудно-модулированного АМ колебания при модуляции монохроматическим сигналом с частотой .



М - коэффициент модуляции; - модулирующая частота, -несущая частота. Разложим на составляющие:



Используя результаты п.5.6.5, запишем спектр заданного сигнала в виде:



Модуль спектра АМ колебания изображен на рис.5.19.

Рис. 5.19

"Зеркальная" часть спектра в области отрицательной частоты физического смысла не имеет, но ее необходимо учитывать при переходе к временной форме, используя обратное преобразование Фурье.
ПРИМЕР 5.6

Вычислить спектр пакета равноотстоящих импульсов (рис. 5.20).




Рис. 5.20

- амплитуда импульсов,- длительность, - межимпульсный интервал, - число импульсов в пакете.

Спектр данного сигнала получим, используя известное выражение для спектра одиночного прямоугольного импульса, теоремы запаздывания и сложения.

Обозначив спектр одиночного прямоугольного импульса ,получим:


(5.26)

Легко видеть, разлагая по формуле Эйлера на и , что на частотах , где К = 0,1... все слагаемые в скобках (5.26) равны единице и

На частотах выражение в скобках обращается в нуль. Во всех остальных точках имеет место геометрическая сумма слагаемых.

График модуля спектра при изображен на рис.5.21.


Рис. 5.21

На рис.5.21 пунктирной линией нанесена огибающая спектра одиночного импульса.

При увеличении пики спектральной функции увеличиваются и сужаются, и при очень большом сплошной спектр вырождается в дискретный, что логично, так как уже будет почти периодическим сигналом (см. рис.5.22).



Рис.5.22

5.7. Частотный (спектральный) метод анализа линейных цепей
Реализация частотного метода базируется на представлении сигнала в виде его спектральной функции и использует частотную функцию цепи.

Суть спектрального метода заключается в следующем: спектральная функция отклика равна произведению спектральной функции воздействия на частотную функцию цепи :

(5.27)
Доказательство:

в соответствии с представлением электрической цепи, как динамической системы, отклик и воздействие связаны дифференциальным уравнением:

(5.28)

- отклик; - воздействие; коэффициенты отражают параметры и конфигурацию цепи.

Применив к правой и левой части (5.28) операцию прямого преобразования Фурье и учитывая теоремы сложения и дифференцировании, получим:


(5.29)
Преобразуем (5.29)

(5.30)

обозначим сомножитель:


и окончательно запишем (5.30) в виде:

(5.31)

Соотношение (5.31) является формулой частотного (спектрального) метода анализа отклика линейной цепи на заданное воздействие. Временная форма отклика может быть получена с помощью обратного преобразования Фурье:

(5.32)
ПРИМЕР 5.7

Определить отклик цепи (рис.5.23) на заданный сигнал:





Рис. 5.23

1.Вычислим

2. Вычислим частотную функцию цепи:


3. Вычислим


Как уже упоминалось выше, дает возможность ответить на ряд вопросов, важных с технической точки зрения: ширина полосы выходного сигнала, степень искажения и др.

Однако можно определить и временную форму отклика:



Вычисление полученного интеграла модно упростить, используя связь между преобразованием Фурье и преобразованием Лапласа.

Заменим на , тогда:

,

для перехода к оригиналу используются, например, таблицы преобразования Лапласа, формула разложения или теорема вычетов.

Приведем полученное изображение к табличному виду, в результате получим:



Путем несложных алгебраических преобразований данное выражение приводим к следующему виду:


^ Активная длительность импульса и эффективная ширина спектра сигнала.
Активная длительность заданного импульса определяется как интервал времени, в котором сосредоточена основная часть энергии сигнала (90-95%), т.е. активная длительность может быть определена соотношением:



Эффективная ширина спектра сигнала определяется ,как интервал частот, в котором сосредоточена основная часть энергии сигнала (90-95%) и в соответствии с теоремой Парсеваля определяется соотношением:

.

(предполагается, что ; -нижняя частота спектра).

Для сигналов, энергия которых сконцентрирована в ограниченном интервале частот - прямоугольный, колокольный импульсы и др., вводится постоянная ,где - принятая ширина полосы сигнала;- активная длительность импульса.

Для технически реализуемых импульсов колеблется в интервале 0,5 ~ 1, что может служить критерием при оценке ширины полосы при заданной длительности импульса, однако в ряде специальных случаев, например в измерительной технике, когда нужно воспроизвести форму сигнала с высокой точностью, берется больше единицы.
5.8. Условие неискаженной передачи сигналов в линейной цепи

Сигнал передается линейной цепью без искажений, если не изменяется его временная , а следовательно, и частотная формы.

Неизбежными являются только запаздывания сигнала при прохождении через линейный четырехполюсник, например длинную линию, и изменение его уровня за счет затухания или усиления.

Таким образом, линейная цепь является неискажающей, если

(5.33)
где - некоторый постоянный коэффициент; - время задержки сигнала в цепи.

Рассмотрим требования к АЧХ и ФЧХ цепи, при которых выполняется условие (5.33).

Используем метод спектральной функции:

(5.34)

Для выполнения условия (5.33) в соответствии с теоремой запаздывания должно соблюдаться равенство:

= (5.35)

Подставляя в левую часть (5.34) выражение (5.35), получим:



отсюда

(5.36)
Итак, для неискаженной передачи сигнала АЧХ (модуль цепи должен быть равен 1, а ФЧХ (фаза ) должна изменяться пропорционально и равна ).

В самом деле, указанные выше требования технически невыполнимы в широком диапазоне частот, да в этом и нет необходимости, так как ширину полосы сигнала можно ограничить верхней частотой или интервалом частот: , где и -соответственно верхняя и нижняя частоты спектра сигнала.

Кроме того, как было упомянуто выше, в цепи может иметь место затухание или ослабление сигнала, которые не искажают форму сигнала, но изменяют его уровень. Учитывая вышеизложенное, сформулируем требования к следующим образом: для неискаженной передачи сигнала с полосой, ограниченной в интервале (), модуль в заданном интервале частот должен быть равен постоянной величине , а фазовая характеристика должна изменяться пропорционально частоте соответственно групповое время запаздывания т.е. времени запаздывания. (рис.5.24,а,б,в)


  1   2

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Анализ линейных цепей iconРеферат по предмету «Логистика» на тему: Логистические системы мониторинга цепей поставок
Основные методологические принципы построения системы мониторинга цепей поставок 57

Анализ линейных цепей iconПрактическая работа №16 по дисциплине Организация обслуживания, монтаж...
...

Анализ линейных цепей iconМетодические указания к выполнению лабораторной работе «решение систем...
В ряде практических задач управления и оптимизации приходится решать системы линейных алгебраических уравнений (слу). В настоящей...

Анализ линейных цепей iconМинистерство Путей Сообщения Уральский Техникум Железнодорожного Транспорта
Схема прохождения цепей по линейно аппаратному цеху и план размещения оборудования 22

Анализ линейных цепей icon«Расскажи нам о себе»
Линейные иллюстрации к детским книгам, линейная графика, фото линейных мотивов в природе

Анализ линейных цепей icon«Расскажи нам о себе»
Линейные иллюстрации к детским книгам, линейная графика, фото линейных мотивов в природе

Анализ линейных цепей iconСочинская филармония
...

Анализ линейных цепей iconСочинская филармония
...

Анализ линейных цепей icon«Сочинское концертно-филармоническое объединение»
...

Анализ линейных цепей iconХлопаева Наталья Анатольевна Креативные методы анализа текстов сми...
Контент-анализ, структурный, дискурс-анализ, конверсационный, социолингвистический, пропагандистский, анализ слухов, психологический,...



Образовательный материал



При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
lit-yaz.ru
главная страница