Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем




Скачать 352.84 Kb.
НазваниеДвустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем
страница1/3
Дата публикации27.07.2013
Размер352.84 Kb.
ТипДокументы
lit-yaz.ru > Математика > Документы
  1   2   3
Equation Chapter 1 Section 1Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем.1

А.Б. Альшин, Е.А. Альшина, А.Г. Лимонов

Институт математического моделирования РАН

Московский государственный институт электронной техники (технический университет), Зеленоград

e-mail: elena.alshina@gmail.com
Для жестких систем дифференциальных уравнений предложен ряд новых двустадийных схем типа Розенброка с комплексными коэффициентами. Схемы имеют четвертый порядок точности и отвечают повышенным требованиям к устойчивости. Построено однопараметрическое семейство L1-усточивых схем, коэффициенты которых вычисляются по явным формулам, содержащим лишь дроби и радикалы. В этом семействе найдена одна L2-устойчивая схема. Построена L4-устойчивая схема четвертого порядка точности. Доказана сходимость предложенных схем. В литературе ранее не были описаны схемы 4-го порядка точности всего на двух стадиях, а также не было схем с L4-устойчивостью. Разработан алгоритм символьных вычислений, позволяющий конструировать условия порядка для многостадийных схем типа Розенброка с комплексными коэффициентами. Этот алгоритм был применен при построении предложенных схем. Библ. 5, илл. 6, табл. 6.
^ I. ВВЕДЕНИЕ

При математическом моделировании задач со многими разномасштабными по времени процессами практически неизбежно возникают жесткие системы [1]. Жесткими являются задачи, описывающие химические или нейтронные реакции, нестационарные процессы в электрических цепях и многие другие. Они традиционно трудны для численного решения и требуют разработки специальных численных методов.

Жёсткая устойчивость. Начиная с 50-х годов прошлого века, для жестких задач стали создавать специальные неявные методы, тогда же были даны формулировки ряда дополнительных свойств, которым должны удовлетворять искомые схемы. Рассмотрим задачу Далквиста

. \* MERGEFORMAT

При точное решение быстро и монотонно затухает.

Для любой линейной схемы переход на следующий временной слой при решении задачи имеет вид , где называется функцией роста или функцией устойчивости.

Определение. Схема называется устойчивой, если при То есть численное решение должной быть устойчиво в тех же диапазонах , что и точное решение задачи .

Если схема не обладает хотя бы A-устойчивостью, то она вообще не пригодна для жестких задач.

Желательно, чтобы при функция устойчивости также сильно затухала, поэтому вводят понятие устойчивости [2].

Определение. Схема называется устойчивой, если она устойчива и при

Чем жестче задача (мерой жесткости служит величина ), тем выгоднее устойчивые схемы с большими .

Для схем высокого порядка полезно также обобщение: устойчивость ( для и при ).

Как правило, жесткий характер численного решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений проявляется не везде, а в некоторых областях, зависящих от конкретной постановки задачи. На жестком участке ключевую роль играют свойства устойчивости схемы, на мягком участке – точность аппроксимации.

Идеальным был бы метод, обладающий высоким порядком точности и удовлетворяющий повышенным требованиям к устойчивости. Повышенные требования к точности схемы часто конфликтуют с возможностью обеспечить жесткую устойчивость. Применение комплексной арифметики дает большее число степеней свободы и позволяет разрешить этот конфликт.
Equation Chapter (Next) Section 2^ III. СХЕМЫ РОЗЕНБРОКА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ.
Среди схем для жестких систем дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений стоит выделить схемы Розенброка. Схемы эти по сути неявные, но для перехода на новый временной слой нужно решать линейную систему уравнений с хорошо обусловленной матрицей, что позволяет избежать итераций.

Рассмотрим задачу Коши для системы дифференциальных уравнений

\* MERGEFORMAT

Здесь – неизвестная вектор функция, а – заданная вектор-функция той же размерности. Мы будем предполагать, что функция не менее четырёх раз непрерывно дифференцируема в окрестности решения задачи Коши . Без ограничения общности можно считать задачу автономной (правая часть не зависит от времени явно), так как любая неавтономная задача может быть сведена к автономной задаче.

Схемы Розенброка одношаговые – для вычисления значения численного решения на новом временном слое используется лишь значение с текущего слоя . Для стадийной схемы переход на новый временной слой происходит по формулам:

\* MERGEFORMAT

Здесь – единичная матрица, – матрица Якоби системы , – вообще говоря, комплексные параметры, определяющие свойства схемы. Использование комплексной арифметики требует большего числа арифметических операций для решения линейных систем в по сравнению с действительной схемой. Но при выборе коэффициентов комплексной схемы в нашем распоряжении в два раза большее число степеней свободны, что позволяет построить схему более высокого порядка точности и большей надежности, по сравнению с аналогичной действительной схемой.

Одностадийная комплексная схема была предложена Розенброком в 1963 году [3]. Больший по сравнению с действительными схемами объем вычислений стал в те годы непреодолимым препятствием для ее широкого распространения. Для современного уровня вычислительной техники на первый план уже давно выходит не объем вычислений, а надежность и точность схемы. Одностадийная схема с обладает уникальным сочетанием свойств: она имеет максимальный для одностадийной схемы – второй – порядок точности и обладает устойчивостью с максимальным для одностадийных схем . Это лучшая из известных нам одностадийных схем не только для жестких задач.

Целью данной работы является построение комплексной схемы с , обладающей максимально возможно лучшей точностью и устойчивостью. В нашем распоряжении 6 комплексных параметров: .

Equation Section (Next)^ IV. УСЛОВИЯ ПОРЯДКА.
Для получения условий порядка нам понадобится сопоставить разложения в ряд по степеням шага точного решения задачи и численного . Получение степенных разложений требует довольно громоздких выкладок, особенно для численного решения. Сложность проведения таких выкладок зачастую вынуждает исследователей использовать упрощающие соображения при построении схем (например, «замораживание» матрицы Якоби в ), что естественно сужает потенциальные возможности схемы.

Удобным приемом при получении степенных разложений как точного, так и численного решений является представление в виде графов. Мы использовали стандартное представление в виде деревьев для точного решения (см., например, [1]). Для получения степенного разложения численного решения схемы в данной работе предлагается оригинальный алгоритм. Здесь также удобным оказалось представление в виде деревьев.

Точное решение. Поясним обозначения на примере разложения точного решения . Согласно формуле Тейлора для функции , имеющей -ую ограниченную производную

. \* MERGEFORMAT

Первая производная есть правая часть уравнения – – ей соответствует «f» -вершина . Для получения второй производной дифференцируем сложную функцию . Зависимость от присутствует только неявно через , поэтому дифференцирование по добавляет элемент , которому соответствует ребро с «f» - вершиной на конце . Продифференцировав произвольное произведение функций вида , получим следующее правило, по которому строится представление в виде дерева степенного разложения .

Для получения производной точного решения порядка к каждой «f» - вершине дерева производной порядка нужно добавить ребро с «f» - вершиной на конце.

В Табл. 1 приведены деревья для первых четырех производных точного решения задачи . Число строк взято достаточным для построения схемы с аппроксимацией 5-го порядка, хотя указанное правило позволяет получить представление в виде дерева для производной произвольного порядка.

Табл. 1.






Представление в виде дерева

Символьное представление

1







2







3

+




4

+ + +++



4

+ + +



5

++++

++++



Четвертая строка Табл. 1 содержит 2 абсолютно одинаковых дерева (соответствующих ) и третье – топологически эквивалентное этим двум (соответствующее ). С учетом коммутации тензоров все эти три слагаемых равны и мы можем привести подобные члены в разложении (что сделано в следующей строке Табл. 1). Далее все подобные слагаемые в разложениях приведены с учетом топологической эквивалентности. Проверить топологическую эквивалентность деревьев гораздо проще, чем установить факт коммутации тензоров, в том числе и поэтому представление степенного разложения в виде деревьев сильно упрощает выкладки.

Разложение численного решения. Численное решение на новом временном слое представляется через приращения первой и второй стадии

. \* MERGEFORMAT

Здесь производные соответствуют дифференцированию по . Мы строим степенное разложение с центром на текущем временном слое, поэтому в все производные вычисляются при .

Первая стадия. Из первой линейной системы в следует, что . Продифференцируем раз это равенство по : . При получим рекуррентную формулу для дифференцирования :

. \* MERGEFORMAT

Здесь учтено, что . Количество множителей в равно . В терминах деревьев правило дифференцирования для очень простое.

Первая производная есть «f» - вершина. Для получения производной порядка к последней «f» - вершине дерева производной порядка нужно добавить ребро с «f» - вершиной на конце и помножить на .

Производные для приращения первой стадии представлены в Табл. 2.
  1   2   3

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем icon6 (44) 2011 экономичные факторизованные схемы для некоторых классов...
В работе построены экономичные факторизованные схемы для модифицированного уравнения влагопереноса Аллера и волнового уравнения в...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconРеакция ребенка на отказ купить что-либо, если он привык, что для...
Реакция ребенка на отказ купить что-либо, если он привык, что для него покупается абсолютно все, может быть самая разная. От жестких...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconРеферат по курсу впкс «Ввод-вывод в транспьютере. Передача данных по линку»
Транспьютер (англ transputer) — элемент построения многопроцессорных систем, выполненный на одном кристалле большой интегральной...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconПлан-конспект урока Тема: «Чертежи и схемы по специальности. Схемы электрические принципиальные»
Вид урока: урок – лекция с элементами компьютерной визуализации и практической деятельности

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем icon2 Обеспечения При создании автоматизированных систем в общем, систем...
При создании автоматизированных систем в общем, систем документооборота и систем планирования, прежде всего различают разные виды...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconСхемы управления цифровыми устройствами
Всем, кто занимается конструированием цифровых устройств, известно как важны установка цифровой схемы в исходное состояние или создание...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconПрофессиональные умения и навыки
Резюме в чем-то схоже со служебной анкетой, но в отличие от заполнения граф анкеты написанное резюме является творческим процессом....

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconСтихи, потешки о природе для малышей
Бондаренко Т. М. Комплексные занятия в первой младшей группе детского сада: Практические пособия для воспитателей и методистов доу,...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconРазработка системы управления взаимоотношениями с клиентами
Существует много аналогов crm систем, но для каждого отдельного бизнеса необходима своя информационная система. Универсальных систем...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconТема: Современная школа и здоровье обучающихся
Цель: разработать комплексные меры, направленные на обеспечение условий для сохранения здоровья учащихся



Образовательный материал



При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
lit-yaz.ru
главная страница