Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем




Скачать 352.84 Kb.
НазваниеДвустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем
страница3/3
Дата публикации27.07.2013
Размер352.84 Kb.
ТипДокументы
lit-yaz.ru > Математика > Документы
1   2   3

Табл. 6.

1












2










3









4







5









6







7







8







9









10







11







12







13







14







15







16







17







Уравнения на коэффициенты схемы приведены в Табл. 6. Первый столбец указывает слагаемое в разложениях точного и численного решений, которое компенсируется выполнением данного условия порядка. Для наглядности они объединены в группы. Третий столбец указывает порядок аппроксимации, который обеспечивает выполнение очередной (конечно, вместе со всеми предыдущими) группы уравнений. Таким образом, для построения аппроксимации на дифференциальной задаче 6 комплексных параметров двухстадийной схемы Розенброка (12 действительных переменных) должны удовлетворять системе из 8 уравнений. Двухстадийная схема Розенброка с действительными коэффициентами имеет всего 6 действительных коэффициентов, что не позволяет в общем случае получить точность .

В Табл. 5. приведены также уравнения на коэффициенты схемы, обеспечивающие аппроксимацию 5-го порядка. Максимум модуля невязки условия пятого порядка служит для оценки численного коэффициента в остаточном члене схемы четвертого порядка точности. Интересно, что в разложении численного решения присутствуют все те же слагаемые, что и в разложении точного. Более детальный анализ, выполненный на основе приведенного выше алгоритма построения разложения численного решения, показал, что принципиально некомпенсируемые разностной схемой слагаемые в разложении получаются только для условий 7-го порядка. Это подтверждает перспективность выбранного направления и позволяет в будущем надеяться на построение модифицированной комплексной схемы типа Розенброка более высокого порядка точности, чем 4-ый, всего на двух стадиях.

Отметим, что описанный выше алгоритм получения условий порядка допускает эффективную компьютерную реализацию. Была написана программа на языке C++, которая строит разложения численного и точного решений по степеням , проверяет топологическую эквивалентность графов и автоматически, используя технологии символьных вычислений, выписывает условия порядка. Автоматизация получения условий порядка существенно ускорило процесс построения новых схем типа Розенброка, упростила анализ и исключила возможность возникновения ошибок в уравнениях на коэффициенты схемы.
Equation Section (Next)^ V. СХОДИМОСТЬ.
На отрезке интегрирования введем для простоты временную сетку (что не принципиально для одношаговой схемы). В пределах этого пункта удобно обозначить – совокупность значений численного решения в узлах пространственной сетки и – совокупность значений точного решения дифференциальной задачи

Лемма. Пусть правая часть четырежды непрерывно дифференцируема, а комплексные числа таковы, что выполнены уравнения 1-8 из таблицы 6, тогда локальная ошибка метода есть .

Доказательство. В силу выполнения условий порядка 1-8 разложения численного и точного решения совпадают до включительно, кроме того, по предположению не менее чем четыре раза непрерывно дифференцируема в окрестности решения, что даёт возможность раскладывать численное и точное решение по степеням вплоть до включительно.

Теорема. Пусть правая часть четырежды непрерывно дифференцируема комплексные числа таковы, что выполнены уравнения 1-8 из таблицы 6, тогда двухстадийный метод Розенброка сходится с четвёртым порядком, то есть

\* MERGEFORMAT

для .

Доказательство. Рассмотрим два начальных значения и, сделав для каждого из них один шаг по методу Розенброка, получим . Покажем, что для достаточно малых выполнено

, \* MERGEFORMAT

где константа, не зависящая от шага сетки.

Будем рассматривать как функции , тогда получим

.

Учитывая, что , получим . Из уравнения второй стадии получаем



Учитывая, что , приходим к выводу

. \* MERGEFORMAT

Используя теорему о среднем значении, получим

.

Применяя индуктивно эту оценку получим, что за шагов

\* MERGEFORMAT

Здесь использовалась стандартная оценка .

Глобальную погрешность можно представить, как суперпозицию влияний локальных погрешностей, возникших на каждом шаге (см. Фиг. 1).



Фиг. 1.

Таким образом, глобальная ошибка оценивается сверху как сумма влияния локальных ошибок

. \* MERGEFORMAT

Мы использовали предположение о том, что численное решение находится в окрестности точного решения. Теперь уменьшая, если потребуется, величину и, учитывая априорную оценку , это предположение доказывается по индукции.
Equation Section (Next)^ VI. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА.
Для построения схемы с аппроксимацией нужно выполнить уравнения 1-8 из Табл. 6. Эти уравнения связывают 12 действительных параметров схемы, попытаемся выразить все параметры схемы через .

Шаг 1. Перепишем условия порядка 4, 6 и 8, выразив через , учитывая :

\* MERGEFORMAT
Относительно двух независимых переменных и (или что то же самое и ) система накладывает 3 линейных условия связи. Для ее разрешимости определитель этой системы должен быть равен нулю:

. \* MERGEFORMAT

Выполнение условия является необходимым для разрешимости системы уравнения порядка. При заданных и условие есть кубическое уравнение для :

\* MERGEFORMAT

При выполнении из условий порядка 4, 6 и 8 находим :

\* MERGEFORMAT

Из соображений интерполяционности схемы все вычисления на промежуточных стадиях должны лежать в пределах . Это накладывает разумные ограничения на . Одновременно невозможно обращение в нуль , так как при этом невозможно выполнение ни одного из условия порядка 4, 6, 8. Таким образом, для интерполяционной двустадийной схемы знаменатель в отличен от нуля.

Легко заметить, что существуют три частных случая, когда и просто выражаются и нет необходимости решать кубическое уравнение :

1) и , \* MERGEFORMAT

2) и , \* MERGEFORMAT

3) и , \* MERGEFORMAT

При этом условие разрешимости выполнено для любых . Для случаев - формулы несколько упрощаются:

1) \* MERGEFORMAT

2) \* MERGEFORMAT

3) \* MERGEFORMAT

Из условия порядка 1:

. \* MERGEFORMAT

В ходе шага 1 данного алгоритма по заданным определяется из условия разрешимости и вычисляются . В результате выполненными оказываются условия порядка 1, 4, 6 и 8.

Шаг 2. Из условия порядка 2 выразим произведение через ранее вычисленные величины:

. \* MERGEFORMAT

С учетом условия порядка 3 и 5 образуют линейную систему уравнений относительно неизвестных и :

\* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT

Определитель системы - обращается в нуль на окружности:

. \* MERGEFORMAT

В этих случаях система - разрешима лишь при специальном выборе , когда ранг расширенной системы - совпадает и рангом системы. Вне окружности из системы однозначно определяются и :

Для разрешимости условия порядка необходимо .

И, наконец, из условия порядка 7 выразим :

\* MERGEFORMAT .

В ходе выполнения действий шага 2 определены коэффициенты схемы и выполнены условия порядка 2, 3, 5, 7.

Стоит заметить, что входят в условия порядка только в виде произведения с , а – только в виде произведения с . Выбор делает невозможным одновременное выполнение условий порядка 2, 3, 5, 7. Если , то условия порядка выполнены при любом выборе В этом случае разумнее всего положить , тогда вторая стадия становится полностью действительной.

Формулы , , , и выражают коэффициенты схемы с аппроксимацией через параметры Приведенные формулы содержат лишь корни и радикалы (кубическое уравнение относительно явно разрешимо). Это значит, коэффициенты схемы могут быть вычислены в любой наперед заданной точностью. Подбор параметров из соображений устойчивости был бы более удобным, если бы удалось выразить все коэффициенты через но при этом возникает нелинейная система неразрешимая в дробях и радикалах. Параметры выберем из соображений жесткой устойчивости.
Equation Section (Next)^ VII. ФУНКЦИЯ УСТОЙЧИВОСТИ.
Для двустадийной схемы функция устойчивости имеет вид

. \* MERGEFORMAT

Для знаменатель содержит полином четвертой степени: , а числитель – полином не более чем четвертой степени:

. \* MERGEFORMAT

С учетом условий порядка 1-3, 5 коэффициенты многочлена в числителе выражаются через :

\* MERGEFORMAT

Для максимально возможно высокой -устойчивой схемы . При этом с учетом условия порядка 1-3, 5 (гарантирующих аппроксимацию на линейных задачах) можно переписать функцию устойчивости в следующем, более удобном виде:

. \* MERGEFORMAT

Для устойчивой схемы точности коэффициенты и определяются однозначно как корни уравнения четвертой степени

\* MERGEFORMAT

Это уравнение имеет две пары комплексно сопряженных корней. Они могут быть выражены в радикалах, но формулы весьма громоздки и здесь не приводятся. С достаточным для вычислений числом значащих цифр эти корни равны:

\* MERGEFORMAT

Смена знака мнимой части не влияет на свойства схемы. Везде далее использован знак «+» в . С точки зрения функции устойчивости эти корни равноправны и не важно, которое из двух использовать на первой стадии, а какое на второй. Но с точки зрения разрешимости условий порядка и интерполяционности схемы важно выбрать именно такое соответствие корней уравнения и номера стадии.

По заданным коэффициенты схемы с аппроксимацией определяются однозначно. Но сильно нелинейная зависимость между и не позволяет явно выразить коэффициенты устойчивой схемы. Поэтому был использован описанный выше алгоритм вычисления коэффициентов схемы, содержащей лишь дроби и радикалы. Параметры выбирались согласно . Параметр варьировался на отрезке с целью совпадения удовлетворяющего условиям порядка, и значения гарантирующего устойчивость . Это нелинейное уравнение было решено методом Ньютона. Найденное решение есть

. \* MERGEFORMAT












Фиг. 2.

Фиг. 3.

Фиг. 4

На Фиг. 2 показана зависимость от . Горизонтальной линией отмечено значение , гарантирующее устойчивость. В силу непрерывной вблизи точки пересечения зависимости существует предел итерационной процедуры поиска устойчивой схемы. На Фиг. 3 показана зависимость коэффициентов многочлена в числителе функции устойчивости от , видно, что существует точка, в которой одновременно . Это подтверждает также Фиг.4, где изображена сумма модулей коэффициентов многочлена в числителе функции устойчивости от .

Тем самым построена устойчивая схема с аппроксимацией . Это максимально возможная для двустадиной схемы жесткая устойчивость. Приведем полностью набор коэффициентов этой схемы:

\* MERGEFORMAT

В так же приведена максимальная по модулю невязка уравнений 4-го порядка и коэффициенты многочлена в числителе функции устойчивости . Для схемы имеет место слабое нарушение A-устойчивости. Область A-устойчивости .

Для устойчивости необходимо . Заметим, что при выборе на окружности:

\* MERGEFORMAT

величина не входит в последнее равенство . Выбирая на окружности мы можем добиваться устойчивости, не зависимо от значений . При этом для выполнения условия устойчивости нужно положить

. \* MERGEFORMAT

Область определения есть , на этом множестве знаменатель отличен от нуля. Выбирая удовлетворяющими условию разрешимости (например, одним из трех способов -), на окружности и согласованное ему значение , вычислим оставшиеся коэффициенты схемы согласно по формулам -, . Тем самым мы можем одновременно и удовлетворить условиям аппроксимации четвертого порядка, и гарантировать устойчивость. Таким образом мы построили однопараметрическое (параметр ) семейство устойчивых схем. Эти схемы интересны тем, что формулы для вычисления их коэффициентов содержат лишь дроби и радикалы. Тем самым, они могут быть вычислены с любой наперед заданной точностью.

В этом семействе была найдена одна устойчивая схема. Она соответствует выбору , значение было найдено в ходе вычислительного эксперимента из соображений . Приведем коэффициенты этой схемы:

\* MERGEFORMAT

Область A-устойчивости этой схемы

Также были найдены следующие три устойчивые схемы точности , соответствующие с чисто действительной второй стадией , .

, \* MERGEFORMAT

, \* MERGEFORMAT

. \* MERGEFORMAT

Для вычисления приращения второй стадии таких схем нужно решать действительную систему линейных уравнений, что сокращает общий объем вычислений по схеме. Схемы - также удобны тем, что выражения их коэффициентов содержат лишь дроби.
^ VIII. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ.
В качестве тестовой задачи был выбран осциллятор Ван-дер-Поля:

\* MERGEFORMAT

Это стандартная и довольно трудная задача, используемая при тестировании численных методов для жестких систем.

Фазовая траектория при изображена на Фиг.5. Участки с плавным изменением фазовых координат сменяются резкими поворотами, что является проявлением жесткости.









Фиг. 5.

Фиг. 6.

С целью сравнения свойств разных схем мы не использовали процедуру выбора шага сетки, а проводили серию расчетов на вложенных сгущающихся равномерных сетках с контролем погрешности по формуле Ричардсона [4], [5]. На Фиг. 6 в двойном логарифмическом масштабе показано убывание погрешности с ростом числа узлов сетки для трех схем: CROS – классическая одностадийная схема Розенброка [3], CROS2_L2 – L2-устойчивая двусадийная схема и CROS2_L4 – L4-устойчивая двустадийная схема . Расчеты проведены при весьма умеренном числе узлов сетки. Видно, что обе схемы 4-го порядка точности практически сразу выходят на асимптотический характер убывания погрешности (прямая с наклоном равным порядку точности схемы), что позволяет проводить расчет с контролем точности. Для одностадийной схемы такая возможность наступает при примерно в 10 раз большем числе узлов (а значит и гораздо большей трудоемкости). При одинаковом числе узлов сетки в тестовом диапазоне двустадийные схемы обеспечивают в раз меньшую погрешность по сравнению с одностадийной схемой. Погрешность ^ L4-устойчивой схемы как хорошо видно на Фиг. 6 в среднем в 10 раз лучше, чем погрешность L2-устойчивой схемы, несмотря на то, что априорно эти схемы имеют одинаковую точность. Этот факт иллюстрирует важность использования для задач с большой жесткостью Lp-устойчивых схем с возможно более высоким .
ЛИТЕРАТУРА.

  1. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. Мир, Москва, 1999, 685с.

  2. Н.Н. Калиткин Численные методы решения жестких систем. Математическое моделирование, 1995, т. 7, № 5, стр. 8-11.

  3. Rosenbrock H.H. Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations. // Comput. J. 1963. V.5. №4. P.329?330.

  4. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М., Наука, 1979, 319с.

  5. Н.Н. Калиткин, А.Б. Альшин, Е.А. Альшина, Б.В. Рогов Вычисления на квазиравномерных сетках. Физматлит, 2005, 224с.

1 Работа поддержана грантами РФФИ (05-01-00152, 05-01-00144, 05-01-00122) и президентской программы МК-7637.2006.9.


1   2   3

Похожие:

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем icon6 (44) 2011 экономичные факторизованные схемы для некоторых классов...
В работе построены экономичные факторизованные схемы для модифицированного уравнения влагопереноса Аллера и волнового уравнения в...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconРеакция ребенка на отказ купить что-либо, если он привык, что для...
Реакция ребенка на отказ купить что-либо, если он привык, что для него покупается абсолютно все, может быть самая разная. От жестких...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconРеферат по курсу впкс «Ввод-вывод в транспьютере. Передача данных по линку»
Транспьютер (англ transputer) — элемент построения многопроцессорных систем, выполненный на одном кристалле большой интегральной...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconПлан-конспект урока Тема: «Чертежи и схемы по специальности. Схемы электрические принципиальные»
Вид урока: урок – лекция с элементами компьютерной визуализации и практической деятельности

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем icon2 Обеспечения При создании автоматизированных систем в общем, систем...
При создании автоматизированных систем в общем, систем документооборота и систем планирования, прежде всего различают разные виды...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconСхемы управления цифровыми устройствами
Всем, кто занимается конструированием цифровых устройств, известно как важны установка цифровой схемы в исходное состояние или создание...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconПрофессиональные умения и навыки
Резюме в чем-то схоже со служебной анкетой, но в отличие от заполнения граф анкеты написанное резюме является творческим процессом....

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconСтихи, потешки о природе для малышей
Бондаренко Т. М. Комплексные занятия в первой младшей группе детского сада: Практические пособия для воспитателей и методистов доу,...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconРазработка системы управления взаимоотношениями с клиентами
Существует много аналогов crm систем, но для каждого отдельного бизнеса необходима своя информационная система. Универсальных систем...

Двустадийные комплексные схемы Розенброка для жестких систем iconТема: Современная школа и здоровье обучающихся
Цель: разработать комплексные меры, направленные на обеспечение условий для сохранения здоровья учащихся



Образовательный материал



При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
lit-yaz.ru
главная страница