Сборник домашних заданий по уравнениям математической




Скачать 351.07 Kb.
НазваниеСборник домашних заданий по уравнениям математической
страница3/4
Дата публикации09.08.2013
Размер351.07 Kb.
ТипДокументы
lit-yaz.ru > Математика > Документы
1   2   3   4

^ Метод разделения переменных


При решении заданий из этого параграфа используется метод Фурье (метод разделения переменных) для уравнений гиперболического и параболического типа.

При применении этого метода возникает необходимость решения задачи Штурма-Лиувилля следующего вида:

Пусть дана краевая задача

Найти те значения параметра λ, при которых существует ненулевое решение уравнения , удовлетворяющее краевым условиям


, .
Определение. Те значения параметра λ, при которых задача (22) имеет ненулевое решение называются собственными значениями, а соответствующие им ненулевые решения – собственными функциями краевой задачи (22)

Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля (22).

  1. Существует бесконечное счетное множество собственных значений и соответствующих им собственных функций . Каждому собственному значению соответствует одна линейно независимая собственная функция.

  2. Для любого

.

Если



В случае краевых условий существует нулевое собственное значение , которому соответствует собственная функция .

  1. Собственные функции ортогональны между собой, т.е.



Нормой функции называется число


Рядом Фурье функции по ортогональной системе функций называется функциональный ряд вида:


где




    1. Метод разделения переменных для однородного уравнения гиперболического типа.

Пусть требуется найти функцию удовлетворяющую уравнению
(24)

начальным условиям
(25)
и краевым условиям


(26)


Cначала решаем вспомогательную задачу: найти ненулевое решение

(27)
уравнения (24), удовлетворяющее краевым условиям (26). Подставляя решение (27) в уравнение (24) и разделяя переменные, получаем

Последнее равенство возможно только в случае, когда обе его части равны постоянной, которую обозначаем , т.е.

Из соотношения (28) следует, что функции являются соответственно решениями уравнений и

(29)
Поскольку , то ненулевая функция удовлетворяет краевым условиям
, .
Таким образом, – собственная функция задачи Штурма-Лиувилля (22). Находим все собственные значения и соответствующие им собственные функции задачи (22).

Подставив найденные в (29), получаем уравнение

Если , то общее решение этого уравнения имеет вид
.
Если , то
,
где – произвольные постоянные.

Решение исходной задачи (24), (25), (26) ищем в виде суммы ряда

В случае, когда

Eсли краевые условия имеют вид
,

то


Коэффициенты рядов (30) и (31) находятся по формулам


Если имеет вид (31) , то



    1. Метод разделения переменных для неоднородного уравнения параболического типа.


Будем решать начально-краевую задачу вида:
(32)

Сначала рассматриваем задачу Штурма-Лиувилля, ассоциированную с (32):


Находим собственные значения и собственные функции Решение задачи (32) будем искать в виде суммы ряда

Разложим функции и в ряды Фурье по ортогональной системе функций .



где




Подставив разложения функций и в неоднородное уравнение и начальные условия, а затем, приравняв коэффициенты при , получим задачи Коши

для нахождения функций .
Решение смешанной задачи
(34)
может быть сведено к решению задачи (32) относительно неизвестной функции после введения новой переменной по формуле
.
Пусть требуется решить начально-краевую задачу, у которой неоднородность уравнения и краевые условия стационарные, т.е. не зависят от
(35)
В ряде случаев решение такой задачи может быть найдено в виде

(36)
где решение краевой задачи

(если такое решение существует), а решение редуцированной задачи
(38)

Замечание. В заданиях 5-7 требуется найти « формальное» решение смешанной задачи.

^ Задание 5. Однородное волновое уравнение.

Методом разделения переменных решить начально-краевую задачу на отрезке:

1.




2.




3.




4.




5.




6.




7.




8.




9.




10.




11.




12.




13.




14.




15.




16.




17.




18.




19.




20.




21.




22.




23.




24.




25.




26.




27.




28.




29.




30.






Задание 6. Постановка и решение начально-краевой задачи. Поставить и решить начально-краевую задачу на отрезке:

1.

Поставить и решить начально-краевую задачу о малых продольных колебаниях однородного стержня длины с жестко закрепленным левым концом и со свободным правым концом . Начальное отклонение равно , начальная скорость нулевая


2.

Поставить и решить начально-краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны длины со свободными концами. Начальное отклонение равно , начальная скорость нулевая.


3.

Дан тонкий однородный стержень длины , боковая поверхность которого теплоизолирована. Поставить и решить начально-краевую задачу о распределении температуры в стержне, если левый конец стержня теплоизолирован, а температура его правого конца поддерживается равной нулю. Начальная температура стержня равна , где .


4.



Поставить и решить начально-краевую задачу о малых продольных колебаниях однородного стержня длины с жестко закрепленными концами. Начальное отклонение нулевое, начальная скорость равна

5.

Поставить и решить начально-краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны длины со свободным левым концом и жестко закрепленным правым . Начальное отклонение равно , начальная скорость нулевая.

6.

Дан тонкий однородный стержень длины , боковая поверхность которого теплоизолирована. Поставить и решить начально-краевую задачу о распределении температуры в стержне, если концы стержня теплоизолированы, а начальная температура стержня равна .


7.

Дан тонкий однородный стержень длины , боковая поверхность которого теплоизолирована. Поставить и решить начально-краевую задачу о распределении температуры в стержне, если температура его левого конца поддерживается равной нулю, а правый конец теплоизолирован. Начальная температура стержня равна .


8.

Поставить и решить начально-краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны длины с жестко закрепленными концами. Начальное отклонение равно , начальная скорость нулевая.


9.

Поставить и решить начально-краевую задачу о малых продольных колебаниях однородного стержня длины со свободным левым концом и жестко закрепленным правым . Начальное отклонение нулевое, начальная скорость равна .


10.

Поставить и решить начально-краевую задачу о малых продольных колебаниях однородного стержня длины со свободными концами. Начальное отклонение равно , начальная скорость нулевая.


11.

Дан тонкий однородный стержень длины , боковая поверхность которого теплоизолирована. Поставить и решить начально-краевую задачу о распределении температуры в стержне, если температура его левого конца поддерживается равной нулю, а правый конец теплоизолирован. Начальная температура стержня равна , где

.


12.

Поставить и решить начально-краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны длины с жестко закрепленными концами. Начальное отклонение нулевое, начальная скорость


13.

Поставить и решить начально-краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны длины с жестко закрепленным левым концом и со свободным правым концом . Начальное отклонение нулевое, начальная скорость равна


14.

Поставить и решить начально-краевую задачу о малых продольных колебаниях однородного стержня длины со свободными концами. Начальное отклонение нулевое, начальная скорость равна


15.

Дан тонкий однородный стержень длины , боковая поверхность которого теплоизолирована. Поставить и решить начально-краевую задачу о распределении температуры в стержне, если левый конец стержня теплоизолирован, а температура его правого конца поддерживается равной нулю. Начальная температура стержня равна

16.

Поставить и решить начально-краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны длины со свободными концами. Начальное отклонение нулевое, начальная скорость равна


17.

Поставить и решить начально-краевую задачу о малых продольных колебаниях однородного стержня длины с жестко закрепленным левым концом и со свободным правым концом . Начальное отклонение нулевое, начальная скорость равна


18.

Дан тонкий однородный стержень длины , боковая поверхность которого теплоизолирована. Поставить и решить начально-краевую задачу о распределении температуры в стержне, если концы стержня теплоизолированы, а начальная температура стержня равна .


19.

Поставить и решить начально-краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны длины со свободным левым концом и жестко закрепленным правым . Начальное отклонение равно , начальная скорость нулевая.


20.

Поставить и решить начально-краевую задачу о малых продольных колебаниях однородного стержня длины со свободными концами. Начальное отклонение равно , начальная скорость нулевая.


21.

Дан тонкий однородный стержень длины , боковая поверхность которого теплоизолирована. Поставить и решить начально-краевую задачу о распределении температуры в стержне, если температура его левого концаподдерживается равной нулю,а правый конец теплоизолирован. Начальная температура стержня равна , где .


22.

Поставить и решить начально-краевую задачу о малых продольных колебаниях однородного стержня длины с жестко закрепленными концами. Начальное отклонение равно , начальная скорость нулевая.


23.

Поставить и решить начально-краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны длины со свободным левым концом и жестко закрепленным правым . Начальное отклонение нулевое, начальная скорость


24.

Дан тонкий однородный стержень длины , боковая поверхность которого теплоизолирована. Поставить и решить начально-краевую задачу о распределении температуры в стержне, если температура его концов поддерживается равной нулю, а начальная температура стержня равна.


25.

Поставить и решить начально-краевую задачу о малых продольных колебаниях однородного стержня длины с жестко закрепленным левым концом и со свободным правым концом . Начальное отклонение нулевое, начальная скорость равна , где


26.

Дан тонкий однородный стержень длины , боковая поверхность которого теплоизолирована. Поставить и решить начально-краевую задачу о распределении температуры в стержне, если температура его концов поддерживается равной нулю, а начальная температура стержня равна .


27.

Поставить и решить начально-краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны длины с жестко закрепленным левым концом и со свободным правым концом . Начальное отклонение равно , начальная скорость нулевая.


28.

Дан тонкий однородный стержень длины , боковая поверхность которого теплоизолирована. Поставить и решить начально-краевую задачу о распределении температуры в стержне, если температура его концов поддерживается равной нулю, а начальная температура стержня равна .


29.

Поставить и решить начально-краевую задачу о малых продольных колебаниях однородного стержня длины со свободными концами. Начальное отклонение равно , начальная скорость нулевая.


30.

Поставить и решить начально-краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны длины со свободным левым концом и жестко закрепленным правым . Начальное отклонение нулевое, начальная скорость


1   2   3   4

Похожие:

Сборник домашних заданий по уравнениям математической iconЗ. Е. Агранович в помощь логопедам и родителям
Сборник домашних заданий для преодоления недоразвития фонематической стороны речи у старших дошкольников

Сборник домашних заданий по уравнениям математической iconА. П. Рымкевич Сборник задач по физике
Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике за курс средней школы

Сборник домашних заданий по уравнениям математической iconСильванский И. В. Электрические машины. Сборник индивидуальных заданий:...
Электрические машины. Сборник индивидуальных заданий: Методическое пособие по курсу “Электротехника и электроника”: М.: Издательство...

Сборник домашних заданий по уравнениям математической iconЕ. В. Хоменко Сборник упражнений и заданий по разделу школьной программы...
Сборник упражнений и заданий по разделу школьной программы «Состав слова. Словообразование. Орфография» : [для учащихся 5-х классов]...

Сборник домашних заданий по уравнениям математической iconСегодня кто-нибудь отсутствует?
Заведите отдельные тетради для классных работ, домашних заданий, словаря, контрольных работ!

Сборник домашних заданий по уравнениям математической iconРоссийская Государственная библиотека
Сервер Обьединения педагогических изданий "Первое сентября": электронные версии газеты, методические разработки, учебники, материалы...

Сборник домашних заданий по уравнениям математической iconРекомендации по выполнению домашних заданий в начальной школе (вниманию...
Между классной и домашней работами отступи 4 клетки (на пятой строке начинай следующую работу)

Сборник домашних заданий по уравнениям математической iconСеместровый комплексный план
Начальник учебного управления Е. Н. Русакова график выполнения домашних заданий (Х), контрольных работ (К), деловых игр (Д) и курсовых...

Сборник домашних заданий по уравнениям математической icon3. Занятие. Прогулка по лесу. Задачи
Задачи: способствовать развитию эмоциональной сферы, координации движений, общей и тонкой произвольной моторики, навыков выполнения...

Сборник домашних заданий по уравнениям математической iconРекомендации родителям по подготовке домашних заданий
При установке часа начала занятий необходимо определить разумное соотношение времени, отводимого на уроки, прогулки, домашние обязанности,...



Образовательный материал



При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
lit-yaz.ru
главная страница