Расчетное задание по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»




Скачать 221.72 Kb.
НазваниеРасчетное задание по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»
Дата публикации26.09.2013
Размер221.72 Kb.
ТипДокументы
lit-yaz.ru > Математика > Документы
Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Смоленский институт бизнеса и предпринимательства»

Расчетное задание по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Выполнил:

Студент группы М4-09-ДТ-4091;

Сидоров Иван.

Проверила:

Алла Тихоновна Прохоренкова.


2011
Задание на тему

«Классическое определение вероятности».
Основные формулы комбинаторики.
Вычислить вероятность события, указанного в условии задачи.
1. На семи карточках написаны цифры от 1 до 7. Наудачу извлекаются две карточки. Какова вероятность того, что сумма цифр на этих карточках будет четной?
Вероятность вытянуть первой картой нечётную: 4/7, вероятность вытянуть второй картой нечётную 3/6. Вероятность вытянуть две нечётные карты подряд: (4*3) / (6*7) = 2/7.
Вероятность вытянуть первой картой чётную: 3/7, вероятность вытянуть второй картой чётную 2/6. Вероятность вытянуть две чётные карты подряд: (2*3)/(6*7) = 1/7.
Вероятность того, что сумма цифр на этих карточках будет чётной: 1/7 + 2/7 = 3/7.
2. Четырехтомное сочинение расставлено на полке в произвольном порядке. Найти вероятность того, что тома стоят в правильном порядке слева направо.
Количество всех возможных перестановок для 4-ёх томов равно 4! = 24.

Вероятность того, что тома находятся в правильном порядке равна ^ 1/24.
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Вычислить вероятность события, указанного в условии задачи, пользуясь формулами сложения и/или умножения вероятностей.
Три стрелка одновременно делают по одному выстрелу по мишени. Какова вероятность того, что мишень будет поражена только одной пулей, если вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8; для второго – 0,7; для третьего – 0,6.
Вероятность того, что попадёт только 1-ый стрелок равна 0.8 * 0.3 * 0.4 = 0.096

Вероятность того, что попадёт только 2-ой стрелок равна 0.2 * 0.7 * 0.4 = 0.056

Вероятность того, что попадёт только 3-ий стрелок равна 0.2 * 0.3 * 0.6 = 0.036
Сумма вероятностей равна 0.096 + 0.056 + 0.036 = 0,188.
Формула полной вероятности.
Вычислить вероятность события, пользуясь формулой полной вероятности и/или формулой Байеса.
На заводе 30% деталей производится цехом №1, 45% цехом №2 и 25% цехом №3. Вероятность изготовления бракованной детали для 1-го цеха равна 0,05, для 2-го 0,01 и для 3-его 0,04. Наугад выбранная из общей массы деталь оказалась бракованной. Определить вероятность того, что она изготовлена 1-м цехом?
Вероятность того, что деталь была произведена в 1-ом цехе равна:



Повторение испытаний.
Вычислить вероятность события, пользуясь формулами Бернулли и Пуассона, теоремами Лапласа (таблицы, которые могут понадобиться, приведены в [2], с.83-84).
Вероятность отказа прибора при испытании равна 0,2. Сколько таких приборов нужно испытать, чтобы с вероятностью 0,99 получить хотя бы один отказ?
Вероятность того, что прибор будет работать, исправно = 0.8 (p), вероятность отказа = 0.2 (q), количество испытаний N, количество наступления событий N-1; вероятность наступления N-1 события = 1- 0.99 = 0.01.
По формуле Бернули получаем:





N примерно равен 30. Это означает, что примерно при 30 испытаниях мы получим заданную вероятность.
Дискретные случайные величины.
Задан закон распределения дискретной случайной величины X. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Построить график функции распределения вероятностей случайной величины X.


X

10

10,1

10,3

10,6

11

P

0,6

0,1

0,1

0,1

0,1


Мат ожидание

M[X]



D[X]


Среднее арифметическое: 10.4
СКО


График функции распределения вероятностей случайной величины Х:



Непрерывные случайные величины
Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения.

Требуется найти:

1. плотность распределения;

2. математическое ожидание;

3. дисперсию;

4. среднее квадратическое отклонение;

5. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более, чем на одну четвертую длины всего интервала возможных значений этой величины;

^ 6. построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей.



Вариант

Функция. Распределения.



1





  1. f(x) =



  1. M[X] = 8 / 6




  1. D[X] = 4.222




  1. СКО = 2.054



  1. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более, чем на одну четвертую длины всего интервала возможных значений этой величины:





Система двух случайных величин

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (X,Y) задан таблицей.
Требуется:

 определить одномерные законы распределения случайных величин X и Y;

 найти условные плотности распределения вероятностей величин;

 вычислить математические ожидания;

 вычислить средние квадратические отклонения;

 вычислить ковариацию;

 вычислить коэффициент корреляции.





Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

X1

0,04

0,04

0,03

0,03

0,01

X2

0,04

0,07

0,06

0,05

0,03

X3

0,05

0,08

0,09

0,08

0,05

X4

0,03

0,04

0,04

0,06

0,08


X = {1, 2, 3, 8};

Y = {9, 11, 13, 16, 18}.
Одномерные законы распределения случайных величин X, Y.
Для Х: Px = {0.15, 0.25, 0.35, 0.25}.

Для Y: Py = {0.16, 0.23, 0.22, 0.22, 0.17}.
Условные плотности распределения:
Для Y:





Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

X1

0,25

0,1739

0,1364

0,1364

0,0588

X2

0,25

0,3043

0,2727

0,2273

0,1765

X3

0,3125

0,3478

0,4091

0,3636

0,2941

X4

0,1875

0,1739

0,1818

0,2727

0,4706


Для X:





Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

X1

0,27

0,16

0,14

0,12

0,27

X2

0,27

0,28

0,23

0,16

0,27

X3

0,2

0,24

0,26

0,16

0,2

X4

0,2

0,2

0,23

0,24

0,2


Вычислим мат ожидания:

Mx = (0.15*1 + 2*0.25 + 3*0.35 + 8*0.25) = 3.7

My = (0.16*9 + 0.23*11 + 0.22*13 + 0.22*16 + 0.17*18) = 13.41

Вычислим дисперсии:
Dx


Dy


Вычислим ковариацию:
Cov(X,Y) = 1.813
Вычислим коэффициент корреляции:
R(X,Y) = 0.2281


Закон больших чисел и предельные теоремы
Дисперсия случайной величины X равна 1.5.

Требуется:

· С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что случайная величина отклониться от своего математического ожидания не более чем на величину 2. Параметры выбрать по номеру варианта;

· Для рассматриваемой случайной величины X оценивается математическое ожидание. Сколько нужно сделать измерений, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, среднее арифметическое этих измерений отклонилось от истинного значения математического ожидания не более чем на величину 2.
По неравенству Чебышева:



Вероятность отклонения: 0.625
Из первой теоремы Чебышева:



N >= 7,5

Статистическая обработка экспериментальных данных.

^ Оценка параметров. Проверка статистических гипотез
По заданной выборке случайной величины X вычислить основные эмпирические характеристики:

· выборочную среднюю;

· выборочную дисперсию;

· исправленное значение выборочной дисперсии;

· среднее квадратическое отклонение;

· построить доверительный интервал для оценки математического ожидания. Считать надежность оценки равной 0,95;

· построить доверительный интервал для оценки дисперсии. Считать надежность оценки равной 0,95.

· Построить по данным выборки полигон и гистограмму. Подобрать подходящий теоретический закон распределения вероятностей. Проверить гипотезу о соответствии эмпирического закона распределения выбранному теоретическому при уровне значимости 0.05.


1,6

1,5

2,4

4,9

2,6

3,2

1,0

0,0

2,8

0,3

2,2

0,8

0,1

3,2

8,0

0,7

4,1

0,2

0,3

0,7

3,3

3,4

4,6

0,6

0,5

4,2

3,7

0,1

0,4

1,2

4,5

1,6

1,2

1,5

9,6

4,0

0,3

0,7

7,3

2,5

2,1

2,7

0,3

0,9

4,9

0,1

0,5

0,3

1,4

2,8

0,6

1,4

0,8

1,1

0,9

0,4

1,2

0,2

0,1

0,8


^ Выборочная средняя:



Mx = 1,98
Выборочная дисперсия:



Dnx = 4.115
Исправленное значение выборочной дисперсии:



Dx = 4.185

Построим доверительный интервал для оценки математического ожидания. Надежность оценки 0,95:
Процентиль распределения Стьюдента:



Доверительный интервал для мат ожидания:



1,47 <= M <= 2,505
Построим доверительный интервал для оценки дисперсии:
Процентиль распределения хи-квадрат:



Доверительный интервал для дисперсии:



12,57 <= D <= 26,1
Построим по данным выборки полигон и гистограмму. Проверим гипотезу о соответствии эмпирического закона распределения выбранному теоретическому при уровне значимости 0.05.

Полигон


Гистограмма


Выдвинем гипотезу о соответствии экспоненциальному закону распределения.


0,5029
Проверим гипотезу критерием Стьюдента.


Хи-квадрат = 14.26.
Т.к. 14.26 < 82,2 то гипотеза верна.
Дисперсионный анализ.
Сделано по 5 измерений случайной величины X на каждом их четырех уровней фактора F. Методом дисперсионного анализа проверить гипотезу о том, что фактор F не влияет на математическое ожидание величины X. Сделать вывод.


Номер

испытания

Уровни фактора j

F1

F2

F3

F4

1

5

4

7

9

2

3

8

6

5

3

7

8

2

6

4

9

3

4

4

5

3

4

6

6




  1. Находим групповые средние для каждого уровня фактора F:



5,4

5,4

5

6




  1. Находим общее среднее:



Xs = 5,45

  1. Находим факторную сумму квадратов отклонений групповых средних от общей средней:



Sfact = 2,55

  1. Находим факторную дисперсию:



Sfact^2 = 0,85

  1. Находим общую сумму квадратов отклонений измеренных значений xij от общей средней:



So = 82,95

  1. Находим остаточную сумму квадратов отклонений измеренных значений в каждой группе от своей групповой средней:



Sost = 80,4

  1. Найдем остаточную дисперсию:



Sost^2 = 5,025

  1. Сравним факторную и остаточную дисперсии с использованием критерия Фишера – Снедекора:

    1. находим наблюдаемое значение критерия по формуле:



Fn = 0,01

    1. определяем по таблице критических точек распределения Фишера – Снедекора (0,05;3;16).

Fk = 3.24

    1. Fk > Fn, что означает, что гипотеза о том, что фактор не оказывает существенное влияние верна.



^

Регрессионный анализ


При изучении зависимости между величиной X и величиной Y были получены следующие значения.




1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

X

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

Y

-2,1

-2,9

-3,5

-4,1

-4,2

-3,9

-3,7

-3,2

-1,3

0,2

1,5

3,4

5,3

5,7

7,5

Требуется:

  • построить график Y=f(X);

  • рассчитать параметры уравнения линейной регрессии методом наименьших квадратов;

  • оценить качество полученного уравнения регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации;

  • найти коэффициент корреляции;

  • оценить значимость коэффициента корреляции и коэффициента регрессии по критерию Стьюдента (t- критерий) при уровне значимости 0.95;

  • сделать выводы.



  1. Построим график Y = f(x);





  1. Рассчитаем параметры уравнения линейной регрессии методом наименьших квадратов:




X2

1

0,6

0,36

0,16

0,04

0

0,04

0,16

0,3

0,6

1

1,44

1,96

2,56

3,24

Y2

4,41

8,4

12,2

16,8

17,6

15,2

13,6

10,2

1,6

0,04

2,2

11,5

28,0

32,4

56,2

X*Y

2,1

2,3

2,1

1,64

0,84

0

-0,7

-1,2

-0,7

0,1

1,5

4,08

7,42

9,12

13,5




Сумма X=

6







Сумма Y =

-5,3







Сумма X2 =

13,6







(Сумма X)/n=

0,4







(Сумма Y)/n=

-0,353







Сумма( X*Y )=

41,98





Система уравнений:

{ -0.353 = a + b * 0,4

{ 41.98 = a * 6 + b * 13.6
a = 1.9283

b = 3.9375

Уравнение линии регрессии:

y` = 3.9375 * x + 1.9283



  1. Оценим качество полученного уравнения регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации.



Z1= 380.7



Z2 = 111.3


  1. Найдём коэффициент корреляции:



R = 0.87

  1. Оценим значимость коэффициента корреляции и коэффициента регрессии по критерию Стьюдента (t- критерий) при уровне значимости 0.05;



t = 22.99


  1. Табличное значение распределения Стьюдента с вероятностью 0,95 равно 2.16, как видно значение нашего параметра t больше табличного, следовательно, оценка коэффициента корреляции является значимой.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Расчетное задание по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» iconМетодические рекомендации курган 2009 Маркова Т. Н. Преподавание...
«Теория вероятностей и математическая статистика» в школе: Методические рекомендации/ Государственное образовательное учреждение...

Расчетное задание по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» iconМетодическое пособие по выполнению практических работ по дисциплине...
Рассмотрена на заседании предметной комиссии общепрофессиональных и специальных дисциплин по специальности 230105

Расчетное задание по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» icon«Теория вероятности и математическая статистика»
Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6, второй – с вероятностью...

Расчетное задание по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» iconИсследовательская работа по математике «Теория вероятностей и творчество Анны Ахматовой»
Таким образом, хотя оба события возможны, но их возможности имеют как бы разную степень. Для оценки степени возможностей различных...

Расчетное задание по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» iconКурсовая работа по дисциплине «Статистика» на тему: «Статистические...
Статистика системы национальных счетов. Макроэкономические показатели

Расчетное задание по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» iconТеория вероятностей
Правило умножения и правило сложения комбинаторики. Выборки из генеральной совокупности. Выборки упорядоченные и неупорядоченные,...

Расчетное задание по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» iconРабочая программа факультативного курса «Элементы статистики и теории вероятностей»
«Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей». Так как в этом году учащиеся 9 класса изучают программный материал по...

Расчетное задание по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» iconЗадача на воспроизведение отдельных фактов
Задание к экзамену по курсу Методика преподавания психологии (задание выполняется каждым студентом индивидуально, выполненные задания...

Расчетное задание по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» iconМатематическая олимпиада школьников имени Г. П. Кукина
Математическая олимпиада Омгу носит имя профессора Г. П. Кукина, создателя системы городских математических олимпиад

Расчетное задание по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» iconМатематическая олимпиада школьников имени Г. П. Кукина
Математическая олимпиада имит омгу носит имя профессора Г. П. Кукина, создателя системы городских математических олимпиад



Образовательный материал



При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
lit-yaz.ru
главная страница