Элементы матричной алгебры




НазваниеЭлементы матричной алгебры
страница2/24
Дата публикации23.06.2013
Размер1.64 Mb.
ТипДокументы
lit-yaz.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   24
^

1.2. Определитель матрицы и его свойства



Определитель или детерминант матрицы A это некоторое вещественное число, которое ставится в соответствие каждой квадратной матрице и вычисляется по определённому правилу. Определитель матрицы A обозначается или det(A).

1.Определитель матрицы размерности 22:

det A = det = a11a22-a21a12 ( произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов на второй диагонали матрицы A).

A= , то det A =27-54=14-20=-6

2.Определитель матрицы размерности 33(правило треугольника):



3.Определители более высокого порядка.

Для того, чтобы дать определение определителя более высокого порядка, введем понятие минора и алгебраического дополнения элемента определителя.

^ Минором элемента называется число, обозначаемое Mij, равное определителю, который получается из исходного вычеркиванием iтой строки и jтого столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется число, обозначаемое и вычисляемое по формуле:

Как видно, алгебраическое дополнение совпадает с минором, если сумма индексов четная, и отличается знаком, если –нечетная. Теперь можно дать определение определителя.

Опеределение. Определителем квадратной матрицы назовем сумму произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения: det A = 1j A1j

Подобным образом можно разложить определитель по элементам любой строки или столбца.

Пример.

А= Сделаем разложение по 2-ой строке.

==3(-1)2+1 ++5(-1)2+2  + 0 + 1(-1)2+4 = =3(-1) (-170) + 51 (-152) + 11 (-68) =510 – 760 – 68=-318.

Свойства определителей.

  • При перестановке двух параллельных рядов (под рядом определителя понимается его строка либо столбец ) определитель меняет знак.

  • Если элементы какого-нибудь ряда определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

  • Определитель, имеющий ряд, состоящий из нулей, равен 0.

  • Если какие-нибудь два параллельных ряда определителя пропорциональны, то он равен 0.

  • Определитель не изменится, если к одному из рядов прибавить другой, ему параллельный, элементы которого умножены на какое-то число.
  • ^

    1.3. Обратная матрица.



1. Понятие обратной матрицы.

Квадратная матрица A с определителем отличным от нуля называется невырожденной.

Квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице, а все остальные равны нулю называется единичной, обозначается– E.

Квадратные невырожденные матрицы А и В порядка n называются взаимно обратными, если их произведение коммутативно и равно единичной матрице, т.е. АВ=ВА=Е. Обратная матрица к матрице А обозначается символом А-1 и удовлетворяет условию АА-1-1А=Е.

2 Вычисление обратной матрицы.

Теорема. Если определитель квадратной матрицы А отличен от нуля, то существует обратная матрица А-1, определяемая по формуле:



Иными словами, чтобы найти матрицу, обратную матрице А, следует взять матрицу, составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы A, транспонировать ее и поделить все элементы получившейся матрицы на определитель матрицы А.

Замечание. Относительно обратной матрицы справедливы равенства:

  1. det A-1=(det A)-1;

  2. (A-1)-1=A;

  3. (AB)-1=B-1 A-1;

  4. (AT)-1= (A-1)T.

  5. Пример. Найти обратную матрицу для А=

  1. det (A)=480;

  2. Найдем алгебраические дополнения.

A11=(-1)1+1 =7; A12=(-1)1+2 = 1; A13=(-1)1+3 =14;

A21=(-1)2+1 ; A22=(-1)2+2 =9; A23=(-1)2+3 =18;

A31=(1)3+1 ; A32=(1)3+2 ; A33=(-1)3+3 =-3

А-1= =


  1. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.


Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

  • перестановка двух любых строк или столбцов;

  • умножение(деление) строки(столбца) на число, отличное от нуля;

  • сложение(вычитание) строк(столбцов);

  • сложение(вычитание) строк(столбцов),.умноженных на некоторые числа, отличные от нуля.

Предположим, что нам задана невырожденная матрица А порядка n. Построение обратной матрицы А-1 будем вести по следующей схеме:

запишем матрицу (А,Е) размерности (n2n)

элементарными преобразованиями строк (только строк!) приводим первую половину матрицы (А,Е) к единичной. Так как над второй половиной матрицы (А,Е) проводятся те же элементарные преобразования, то на её месте будет построена матрица А-1 обратная к А.

Пример. Найти обратную матрицу А-1 для матрицы А, где А=

Запишем матрицу (А,Е): (А,Е)=

Вычтем из 3-ей строки первую строку, умноженную на 3.



Вычтем из первой строки вторую, умноженную на 3, затем прибавим к третьей строке вторую строку, умноженную на 7.



Вычтем из первой строки третью, умноженную на 6, а затем прибавим ко второй строке третью строку, умноженную на 2. Умножим третью строку на –1.



Таким образом, получили обратную матрицу А-1 , равную А-1=
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   24

Похожие:

Элементы матричной алгебры iconКурсовая работа по дисциплине «Информатика» на тему «Применение алгебры...
Элементы алгебры высказываний. Примеры использования алгебры высказываний в информатике

Элементы матричной алгебры iconКурсовая работа по информатике на тему: «применение алгебры высказываний в информатике»
Алгебра – это наука, которая изучает множество некоторых элементов и действия (операции) над ними. Если элементы алгебры – натуральные...

Элементы матричной алгебры iconКонспект урока на тему «Основы логики (повторение). Решение логических...
Основы логики; познакомить учащихся с методами решения логических задач; формирование у учащихся практических умений и навыков решения...

Элементы матричной алгебры iconМетод «от пролога к эпилогу»
«все его элементы суть элементы смысловые» (Лотман Ю.). Исходя из этих положений, выделяем основные приемы, опробуем их на уроке

Элементы матричной алгебры iconЭлементы радиочастотных линий передачи
Элементы радиочастотных линий передачи: Учебно-методическое пособие по курсу «Устройства свч и антенны» / В. В. Паслен, Е. С. Нестругина....

Элементы матричной алгебры iconДипломной практике «система управления ртк для обработки сложных поверхностей»
Обычно изделия изготавливаются из мягких цветных металлов, пластика или дерева. Это могут быть элементы орнамента для декорирования...

Элементы матричной алгебры iconУрок по геометрии в 8 классе на тему «теорема пифагора»
Осуществление межпредметной связи алгебры с географией, историей, литературой, геометрией

Элементы матричной алгебры icon15. Уроки алгебры Кирилла и Мефодия,10-11 класс
МАрк sql. Автоматизированная информационно-библиотечная система. Версия для школьных библиотек

Элементы матричной алгебры iconРабочая программа факультативного курса «Элементы статистики и теории вероятностей»
«Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей». Так как в этом году учащиеся 9 класса изучают программный материал по...

Элементы матричной алгебры iconИсследование свойств алгебры множеств
Цель работы: Изучение множества, его подмножеств и законов сочетания подмножеств, образующих алгебраическую систему, называемую булевой...



Образовательный материал



При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
lit-yaz.ru
главная страница