Элементы матричной алгебры




НазваниеЭлементы матричной алгебры
страница3/24
Дата публикации23.06.2013
Размер1.64 Mb.
ТипДокументы
lit-yaz.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   24
^

1.4. Ранг матрицы


Рассмотрим матрицу А размерности (mn): А=

Минором к-го порядка матрицы А будем называть определитель матрицы, составленный из элементов матрицы А, стоящих на пересечение любых k строк и любых k столбцов. Очевидно k  min(m,n).

^ Наибольший порядок r минора матрицы А, отличного от нуля, называется рангом матрицы А и обозначается символом Rang A=r.

Заметим, что матрица А может иметь несколько миноров порядка r, отличных от нуля. Любой из этих миноров называется базисным. Строки и столбцы, которые входят в базисный минор, называются базисными строками и столбцами, а переменные из коэффициентов перед которыми составлен базисный минор, называются базисными переменными.

Пример. Найти ранг матрицы А, указать базисные строки и столбцы, если

А=

Ранг матрицы А равен 2, т.к. существует отличный от нуля минор второго порядка, составленный из элементов первого и третьего столбцов, а минора третьего порядка не существует. Обе строки матрицы А являются базисными.

Базисными столбцами не могут быть одновременно первый и второй столбцы, так как определитель, составленный из них, равен нулю. Остальные столбцы могут составлять базисный минор.

Замечание. Если все элементы матрицы А равны нулю, то в этом случае ранг матрицы равен нулю. Таким образом, ранг матрицы удовлетворяет условию:

0 Rang A min(m ,n).

Свойства ранга матрицы.

Для любой матрицы её ранг обладает свойствами:

  • ранг матрицы равен рангу её транспозиции, т.е. Rang A= Rang AТ.

  • ранг матрицы не меняется при перестановке её строк (или столбцов).

  • ранг матрицы не меняется при умножении её строк (или столбцов) на число, отличное от нуля.

  • ранг матрицы не меняется, если к одной из её строк (или столбцов) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.

Метод окаймляющих миноров вычисления ранга.

Задана матрица A размерности .

1. Если матрица имеет ненулевой элемент aij, то rang (A) 1. aijминор первого порядка.

2. Выбираем неравный нулю минор первого порядка (aij 0) и вычисляем окаймляющие миноры второго порядка. Если найдется минор второго порядка, неравный нулю, то rang (A) 2. Если все окаймляющие миноры второго порядка равны нулю, то rang(A)= 1

Окаймляющий минор к–ого порядка – это определитель матрицы, полученной присоединением к рассматриваемой матрице порядка (k1) строки и столбца.

3. Находим окаймляющие миноры третьего порядка и т.д. Процесс продолжаем до тех пор, пока все окаймляющие миноры не будут равны нулю. Если все окаймляющие миноры к–ого порядка равны нулю, то rang (A)=k-1.
  1. ^

    1.5. Векторное n–мерное пространство.



1. Понятие вектора.

Произвольный упорядоченный набор n действительных чисел называется n–мерным вектором и обозначается . Числа называют координатами вектора.

Совокупность всех nмерных векторов называется линейным nмерным векторным пространством. Обозначим его Bn
^ 2. Операции над векторами.


  1. Равенство векторов. Два вектора будем называть равными, если их соответствующие координаты равны.

  2. В любом nмерном пространстве существует нулевой вектор, т.е. такой вектор, все элементы которого равны нулю. Нулевой вектор обозначается символом .

  3. Сумма векторов. Каждой паре векторов и можно поставить в соответствие третий вектор с координатами , называемый суммой векторов

  4. Произведение вектора на число. Каждому вектору : и произвольному вещественному числу можно поставить в соответствие вектор с координатами , называемый произведением вектора на число , т.е. = .

  5. Скалярное произведение векторов – это число, полученное как сумма произведений одноименных координат векторов .

3. Линейная зависимость векторов.

Выражение , где –вещественные числа, а –векторы называется линейной комбинацией векторов .

Говорят, что вектор раскладывается по векторам , если он может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов, т.е. =

^ Пример.

Пусть . Вектор может быть записан в виде следующей линейной комбинации

Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если существует нулевая линейная комбинация этих векторов =0, в которой, по крайней мере одно из чисел , в противном случае система векторов линейно независима.

Лемма. Векторы –линейно зависимы в том и только том случае, если хотя бы один из них является линейной комбинацией других.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   24

Похожие:

Элементы матричной алгебры iconКурсовая работа по дисциплине «Информатика» на тему «Применение алгебры...
Элементы алгебры высказываний. Примеры использования алгебры высказываний в информатике

Элементы матричной алгебры iconКурсовая работа по информатике на тему: «применение алгебры высказываний в информатике»
Алгебра – это наука, которая изучает множество некоторых элементов и действия (операции) над ними. Если элементы алгебры – натуральные...

Элементы матричной алгебры iconКонспект урока на тему «Основы логики (повторение). Решение логических...
Основы логики; познакомить учащихся с методами решения логических задач; формирование у учащихся практических умений и навыков решения...

Элементы матричной алгебры iconМетод «от пролога к эпилогу»
«все его элементы суть элементы смысловые» (Лотман Ю.). Исходя из этих положений, выделяем основные приемы, опробуем их на уроке

Элементы матричной алгебры iconЭлементы радиочастотных линий передачи
Элементы радиочастотных линий передачи: Учебно-методическое пособие по курсу «Устройства свч и антенны» / В. В. Паслен, Е. С. Нестругина....

Элементы матричной алгебры iconДипломной практике «система управления ртк для обработки сложных поверхностей»
Обычно изделия изготавливаются из мягких цветных металлов, пластика или дерева. Это могут быть элементы орнамента для декорирования...

Элементы матричной алгебры iconУрок по геометрии в 8 классе на тему «теорема пифагора»
Осуществление межпредметной связи алгебры с географией, историей, литературой, геометрией

Элементы матричной алгебры icon15. Уроки алгебры Кирилла и Мефодия,10-11 класс
МАрк sql. Автоматизированная информационно-библиотечная система. Версия для школьных библиотек

Элементы матричной алгебры iconРабочая программа факультативного курса «Элементы статистики и теории вероятностей»
«Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей». Так как в этом году учащиеся 9 класса изучают программный материал по...

Элементы матричной алгебры iconИсследование свойств алгебры множеств
Цель работы: Изучение множества, его подмножеств и законов сочетания подмножеств, образующих алгебраическую систему, называемую булевой...



Образовательный материал



При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
lit-yaz.ru
главная страница