Элементы матричной алгебры




НазваниеЭлементы матричной алгебры
страница4/24
Дата публикации23.06.2013
Размер1.64 Mb.
ТипДокументы
lit-yaz.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   24
^

1.6. Ранг системы векторов



1. Определение. Максимальной линейно независимой подсистемой векторов из Bn называется любой набор векторов этой системы, удовлетворяющий двум условиям:

Векторы этого набора являются линейно независимыми;

Всякий вектор представим в виде линейной комбинации набора.

Следует отметить, что система векторов может иметь несколько максимальных систем, но обязательно содержащих одно и то же число векторов.

Определение. Число векторов, входящих в максимальную линейно независимую систему векторов называется рангом системы векторов.

Правило отыскания ранга системы векторов.

Теорема. Ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из координат этих векторов.

Следствие. Если ранг матрицы, составленной из координат векторов, входящих в некоторую систему, равен числу векторов этой системы, то данная система векторов линейно независима, если же ранг меньше числа векторов, то система векторов линейно зависима.

Определение. Набор n линейно независимых векторов nмерного векторного пространства Bn называется базисом этого пространства.

Например, базисом пространства двумерных векторов является любая пара неколлинеарных векторов. Можно показать, что в любом векторном пространстве Bn существует ровно n линейно–независимых векторов. Например, система единичных векторов:



является линейно независимой, так как ранг матрицы из компонент этих векторов равен n.

Базис, состоящий из единичных векторов, называется единичным базисом.

Пример. Система состоит из трех векторов:

Найти все базисы. Составим матрицу A из координат векторов и найдем ее ранг.

A=

Применим метод окаймляющих миноров. , следовательно, rang (A)1. Найдем окаймляющий минор второго порядка: , следовательно, rang (A)2.

Составим окаймляющий минор третьего порядка (определитель матрицы A). Он равен нулю, так как третья строка матрицы A равна сумме двух первых. Поэтому максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы A равен двум, rang (A)=2 и базис системы векторов будет состоять из двух векторов. Эти вектора должны быть независимы, те должен существовать неравный нулю определитель второго порядка (базисный минор), составленный из координат этих векторов. Проверяя это условие, получим, что базис могут составлять следующие пары векторов: .
  1. ^

    1.7. Системы линейных уравнений.



1.Общие понятия.

Рассмотрим систему m уравнений с n неизвестными:

(1.1)

Матрица A= размерности (mn)называется матрицей системы (1.1).

Вектор B=(b1,b2,bm)вектор–столбец свободных членов,

Матрица (A,b)= называется расширенной матрицей системы.

В матричном виде систему линейных уравнений можно записать:

(1.2)

Линейная система называется однородной, если все свободные члены равны нулю ( ), т.е.

Линейная система называется неоднородной, если хотя бы один из свободных членов. .

Линейная система называется квадратной, если матрица A системы квадратная.

Определение. Вектор называется решением системы линейных уравнений, если при подстановке его координат в в уравнения системы вместо соответствующих переменных каждое уравнение обращается в тождество.

Определение. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной в противном случае.

Очевидно, что однородная система всегда совместна, так как нулевое решение является одним из решений такой системы.

Определение. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если имеет более одного решения.

^ Теорема Кронекера–Капелли. Для того, чтобы неоднородная линейная система была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы равнялся рангу основной.

Теорема Кронекера–Капелли является теоремой существования решения и не определяет способ решения системы. При решении линейных систем будем рассматривать два основных случая:

матрица А– квадратная и невырожденная.

матрица А имеет ранг меньше числа неизвестных.
^ 2. Решение систем линейных уравнений с квадратной невырожденной матрицей
Пусть матрица А системы уравнений–квадратная и невырожденная (rang (A)=n) В этом случае система уравнений имеет единственное решение.

a).Правило Крамера: если система линейных уравнений с квадратной матрицей имеет определитель, не равный нулю, то эта система имеет единственное решение, которое можно найти по следующим формулам:

, где определитель системы, а i- определитель, полученный из определителя системы заменой столбца коэффициентов перед переменной xi на столбец свободных членов b.

Пример.



Найдем определитель системы: =

; ; , тогда


b). Матричный метод.

В матричном виде систему линейных уравнений можно записать:

(1.2)

Пусть А–квадратная матрица с определителем не равным нулю. Тогда существует обратная матрица A-1. Умножим (1.2) слева на матрицу A-1:

^ A-1AX=A-1bX= A-1b.

Таким образом, для нахождения решения нужно найти матрицу обратную к матрице системы ограничений.

Решим предыдущий пример матричным методом. Найдем А-1

, тогда X=

^ 3.Решение системы линейных уравнений общего вида

Рассмотрим систему из m уравнений с n неизвестными общего вида, причем число уравнений меньше числа неизвестных ( mn).

Пусть система совместна и ее ранг равен r Выделим в матрице системы A некоторый базисный минор. Тогда уравнения, соответствующие строкам базисного минора будут базисными, а переменные, из коэффициентов перед которыми построен базисный минор–базисными переменными. Число базисных переменных равняется рангу системы уравнений –r. Остальные nr переменных назовем свободными. Если число уравнений m больше ранга, для нахождения решения оставляем только базисные уравнения, а остальные удаляем (остальные будут линейными комбинациями базисных). После этих преобразований получаем эквивалентную систему (т.е. имеющую тоже самое решение, что и исходная). В преобразованной системе число уравнений равняется рангу, при этом возможны два случая: r=n либо r<n.

В первом случае преобразованная система имеет квадратную невырожденную матрицу порядка r, поэтому существует единственное решение этой системы, которое можно найти по правилу Крамера или методом обратной матрицы.

Рассмотрим второй случай, когда r<n. Перенесем в правые части уравнения все слагаемые, содержащие свободные переменные. Пусть базисными будут первые r переменных. Тогда система примет вид:

(1.3)

Неизвестным можно придавать любые значения, поэтому они и называются свободными. Из системы (1.3) можно найти выражения базисных переменных через свободные, рассматривая правые части как столбец свободных членов. Поскольку свободные переменные могут принимать любые значения, то в случае, когда ранг совместной системы меньше числа неизвестных, эта система является неопределенной: она имеет бесчисленное множество решений. Задавая свободным переменным определенные значения, получаем некоторое частное решение.

Определение. Решение системы линейных уравнений, в котором все свободные переменные равны нулю, называется базисным.

Каждому выбору базисных и свободных переменных соответствует одно базисное решение. Всего базисных решений существует не более, чем (число сочетаний из n переменных по r).
^ 4 Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)

Этот метод можно применять для решения линейных систем с произвольной матрицей. Суть метода заключается в том, что посредством последовательного исключения неизвестных на основе элементарных преобразований над строками система приводится к специальному (ступенчатому, треугольному или диагональному) виду.

Пусть a11 0, тогда на основе элементарных преобразований систему преобразуем так, чтобы исключить X1 из всех уравнений кроме первого (коэффициенты перед X1 во всех уравнениях кроме первого будут равны нулю), при этом коэффициент перед переменной X1. можно сделать равным единице. То же самое предпринимается относительно другой переменной и т.д. Процесс продолжаем до тех пор, пока система не примет ступенчатый (или треугольный) вид. После этого из каждого уравнения находим значение одной переменной.

Если в процессе преобразования получится, что левая часть уравнения равна нулю, а правая–не равна нулю, то система несовместна.

При исключении переменных возможно появление уравнений вида 0=0, которые следует отбросить.

Процесс исключения переменных можно формализовать. Приведем систему к такому виду, что каждая базисная переменная будет входить только в одно уравнение с коэффициентом единица. Этот процесс называют приведением системы к единичному базису. Составим таблицу, в которую включим матрицу системы уравнений и столбец свободных членов. Введем обозначения: l – направляющая строка; k – направляющий столбец; alk – главный элемент. Процедура решения сводится к следующим действиям:

Выделяется разрешающее уравнение (направляющая строка преобразования– l ).

В разрешающем уравнении выбирается переменная с коэффициентом отличным от нуля –главный элемент alk. При этом столбец k матрицы системы уравнений называется направляющим столбцом.

Делим направляющую строку на главный элемент: . (1.4)

Все элементы направляющего столбца кроме главного полагаем равными нулю (главный элемент после преобразования будет равен единице).

Все остальные элементы таблицы пересчитываем по правилу четырёхугольника (прямоугольника).

^ Правило четырёхугольника:

В таблице выбирается четыре вершины:

I– элемент , который подлежит пересчету;

II– элемент , который стоит в строке пересчитываемого элемента i и направляющем столбце k;

Ш– главный элемент;

IV– элемент, который стоит в направляющей строке l и в столбце k пересчитываемого элемента .

I II

aij aik
alj alk

III IV

Коэффициент после пересчета (1.5)

Формулы пересчета (1.4) и (1.5) называются формулами преобразования Гаусса.

Процесс (пункты 1–5) повторяем до тех пор, пока система не будет приведена к нужному виду. Всего потребуется не более m шагов, где m –число уравнений.

Пример. Найти решение системы линейных уравнений.



Применим метод Гаусса. Составим таблицу из коэффициентов уравнения.

№ столбца

№ строки123B1-231221081311501. Выбираем направляющую строку –вторую (l=2)

2. Выбираем главный элемент: a12=1. Тогда первый столбец–направляющий( k=1).

3. Пересчитываем направляющую строку: делим на главный элемент a21=1.

4. Элементы первой и третьей строки направляющего столбца (первого) полагаем равными нулю.

5. Пересчитываем остальные элементы таблицы по правилу четырехугольника.

В результате исключили переменную x1 и получили следующую таблицу.

№ стол.

№ стр.123BВыбираем направляющую строку – третью, главный элемент –a32.

В результате преобразований исключим переменную x2.10317421081301-3-1100267Выбираем направляющую строку –первую, главный элемент –a32.

В результате преобразований исключим переменную x3 21081301-3-110017/26Система приведена к единичному базису2100-30/263010-5/26В данном случае все переменные системы базисные, так как определитель системы не равен нулю ( матрица системы ограничений квадратная и невырожденная). Система имеет следующее единственное решение: .
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   24

Похожие:

Элементы матричной алгебры iconКурсовая работа по дисциплине «Информатика» на тему «Применение алгебры...
Элементы алгебры высказываний. Примеры использования алгебры высказываний в информатике

Элементы матричной алгебры iconКурсовая работа по информатике на тему: «применение алгебры высказываний в информатике»
Алгебра – это наука, которая изучает множество некоторых элементов и действия (операции) над ними. Если элементы алгебры – натуральные...

Элементы матричной алгебры iconКонспект урока на тему «Основы логики (повторение). Решение логических...
Основы логики; познакомить учащихся с методами решения логических задач; формирование у учащихся практических умений и навыков решения...

Элементы матричной алгебры iconМетод «от пролога к эпилогу»
«все его элементы суть элементы смысловые» (Лотман Ю.). Исходя из этих положений, выделяем основные приемы, опробуем их на уроке

Элементы матричной алгебры iconЭлементы радиочастотных линий передачи
Элементы радиочастотных линий передачи: Учебно-методическое пособие по курсу «Устройства свч и антенны» / В. В. Паслен, Е. С. Нестругина....

Элементы матричной алгебры iconДипломной практике «система управления ртк для обработки сложных поверхностей»
Обычно изделия изготавливаются из мягких цветных металлов, пластика или дерева. Это могут быть элементы орнамента для декорирования...

Элементы матричной алгебры iconУрок по геометрии в 8 классе на тему «теорема пифагора»
Осуществление межпредметной связи алгебры с географией, историей, литературой, геометрией

Элементы матричной алгебры icon15. Уроки алгебры Кирилла и Мефодия,10-11 класс
МАрк sql. Автоматизированная информационно-библиотечная система. Версия для школьных библиотек

Элементы матричной алгебры iconРабочая программа факультативного курса «Элементы статистики и теории вероятностей»
«Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей». Так как в этом году учащиеся 9 класса изучают программный материал по...

Элементы матричной алгебры iconИсследование свойств алгебры множеств
Цель работы: Изучение множества, его подмножеств и законов сочетания подмножеств, образующих алгебраическую систему, называемую булевой...



Образовательный материал



При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
lit-yaz.ru
главная страница