Оказание помощи студентам факультета математики, информатики и физики в усвоении курса элементарной математики, в частности раздела «Системы уравнений». На
Скачать 458.92 Kb.
|
Содержание Основные теоретические положенияОтвет. , . Пример Ответ. . Пример |
| Введение Цель данного учебно-методического пособия – оказание помощи студентам факультета математики, информатики и физики в усвоении курса элементарной математики, в частности раздела «Системы уравнений». На эту тему отдельных часов в программе не выделено, она изучается в рамках тех занятий курса «Элементарная математика», где рассматриваются конкретные виды уравнений: целые, дробно-рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические. В пособии подробно рассмотрены основные методы, приёмы решения в основном систем рациональных уравнений. Это объясняется следующими причинами. Во-первых, такие системы возникают при решении текстовых задач. Во-вторых, системы уравнений (показательных, логарифмических и т.д.), в основном, решаются следующим образом: проводятся преобразования, соответствующие данным типам уравнений; затем делается замена, которая приводит к системе рациональных уравнений, система решается; далее возвращаются к замене. Данная тема включена в курс алгебры 10-11 классов общеобразовательных школ, поэтому студентам, проходящим педагогическую практику, пособие будет полезно. Пособие состоит из трёх частей: основные теоретические положения темы, методы решения систем уравнений, упражнения для самостоятельной работы. Основные теоретические положения включают в себя определения и теоремы, необходимые для обоснования процесса решения систем уравнений. Теоремы даны без доказательств, т.к. последние объёмны, но не сложны. Указана литература, где доказательства используемых теорем можно посмотреть. Методы решения систем уравнений: подстановки, замены неизвестных, алгебраического сложения уравнений, метод для решения однородных систем уравнений, метод Гаусса. Описаны приёмы, сводящие решение системы к известным методам. Все методы предполагают решение систем элементарными средствами, поэтому, например, мы не рассматриваем решение систем по правилу Крамера. Суть любого из рассматриваемых методов раскрывается через решение конкретной системы уравнений. Процесс решения примера – это план применения рассматриваемого метода, также при решении указывается ссылка на используемую теорему. После описания каждого метода предлагаются 4 упражнения, которые необходимо решить только этим методом. Упражнения для индивидуальной работы: предлагается список систем уравнений, где уже не указываются методы и приёмы, с помощью которых можно решить ту или иную систему. Ко всем упражнениям даны ответы. Задачи частично заимствованы из литературы, частично составлены авторами. ^ Будем рассматривать в основном системы, у которых левая часть каждого уравнения системы является многочленом относительно неизвестных. Именно такие системы возникают в процессе решения текстовых задач, к ним сводится решение других систем уравнений (показательных, логарифмических и т.д.). Основные теоретические положения сформулируем для систем трёх уравнений с тремя неизвестными. Определение 1. Три уравнения с тремя неизвестными , , образуют систему , если ставится задача об отыскании всех таких троек , которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Определение 2. Решением системы называется тройка чисел , при подстановке которых вместо , , каждое уравнение системы становится верным числовым равенством. Определение 3. Областью определения системы называется множество всех значений неизвестных , , , при которых одновременно имеют смысл (определены) все уравнения системы. Определение 4. Решить систему – значит найти все её решения или доказать, что их нет. Определение 5. Две системы уравнений и называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Обозначение: Определение 6. Уравнение называется следствием системы , если каждое решение системы является решением уравнения . Обозначение: Определение 7. Система равносильна совокупности систем и , если выполнены условия:
Сформулируем теоремы, которые лежат в основе методов решения систем уравнений. Приводить доказательства этих теорем не будем, т.к. обоснования теорем объемны, но не сложны. Доказательства основаны на приведенных выше определениях, а также доказательства теорем можно посмотреть в [1], [4]. Теорема 1. Пусть одно из уравнений системы , для определенности первое, «распадается» на два уравнения, т.е. представимо в виде , где и - многочлены от , , . Тогда система равносильна на своей области определения совокупности следующих двух систем: и Это утверждение обобщается на случай, когда два или три уравнения системы «распадаются» на несколько уравнений. Теорема 2. Если уравнение является следствием системы , то, присоединив к системе уравнение , получим систему четырех уравнений, равносильную исходной. Теорема 3. Пусть уравнение , являющееся следствием системы , «распадается» на два уравнения: , где и - многочлены от , , . Тогда система равносильна совокупности следующих двух систем: и Теорема 4. Можно прибавлять к одному уравнению системы другое уравнение этой же системы, умноженное на произвольное число. Теорема 5. Пусть одно из уравнений системы , например первое уравнение , равносильно уравнению - многочлену от и . Тогда система равносильна системе Методы решения систем уравнений 1. Метод подстановки (метод исключения неизвестного). В основе этого метода лежит теорема 5. Пример 1. Решить систему уравнений Решение. Из первого уравнения выразим : и подставим во второе уравнение системы. Получим , его корни , . Соответственно, , . Ответ. ; . Пример 2. Решить систему уравнений Решение. Из первого уравнения системы выразим и подставим во второе и третье уравнения. Система примет вид: После выполнения равносильных преобразований имеем: Последние два уравнения системы образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными. Решим эту систему методом подстановки Второе уравнение последней системы имеет корни , . Найдем : , ; и из первого уравнения исходной системы находим : , . Ответ. ; . Упражнения Решите системы методом подстановки 1) 3) 2) 4) Ответы: 1) ; ; 2) ; 3) ; 4) ; . 2. Метод замены неизвестных. Пример 3. Решить систему уравнений Решение. Обозначив , , получим Возвращаемся к неизвестным и : Ответ. . Пример 4. Решить систему уравнений Решение. Обозначим , , тогда . Получаем: Возвращаемся к неизвестным и : 1) Второе уравнение последней системы не имеет действительных корней, значит, система 1) не имеет решений. 2) решив квадратное уравнение, имеем , . Найдем : , . Ответ. ; . Замечания. 1) В примере 4 рассмотрена система, уравнения которой симметричны относительно неизвестных, то есть не изменяются при замене на , а на . Системы таких уравнений называются симметрическими. Для решения симметрических систем удобно принимать за новые неизвестные симметрические многочлены , от и . Такая замена основана на следующей теореме: любой симметрический многочлен от неизвестных можно единственным образом выразить как многочлен от основных симметрических многочленов с теми же неизвестными. Теорема доказывается в курсе высшей алгебры, а доказательство для случая двух неизвестных можно посмотреть в [4]. 2) При решении симметрических систем часто приходится выражать через и многочлены вида . Суммы , , , выражаются через и следующим образом: Докажем, что С помощью этой формулы можно выразить через и суммы , , и т.д. Итак, , . Упражнения Решите системы уравнений методом замены неизвестных 1) 3) 2) 4) Ответы: 1) ; 2) ; ; ; ; 3) ; ; 4) ; . 3. Метод алгебраического сложения уравнений. В основе метода алгебраического сложения уравнений лежит теорема 4. Пример 5. Решить систему уравнений Решение. Умножим первое уравнение на и прибавим его ко второму уравнению системы, получим: Второе уравнение системы решим как квадратное относительно . Получим или . Подставим найденные значения в первое уравнение системы: 1) Система имеет два решения , ; , . 2) Система не имеет решений. Ответ. ; . Пример 6. Решить систему уравнений Решение. Вычтем из второго уравнения системы первое уравнение, и левую часть полученного уравнения разложим на множители Аналогично вычтем из третьего уравнения системы второе уравнение, левую часть разложим на множители В силу теоремы 4 исходная система равносильна системе Последняя система равносильна совокупности четырех систем (теорема 1): 1) 2) 3) 4) Решив каждую из систем (любым из перечисленных выше методов), получим: решения системы 1) , ; , ; решения системы 2) , , ; , , ; решения системы 3) , , ; , , ; решения системы 4) , , ; , , . Ответ. ; ; ; ; ; ; ; . Упражнения Решите системы уравнений методом алгебраического сложения 1) 3) 2) 4) Ответы: 1) ; ; ; ; 2) ; ; 3) ; ; ; ; ; ; ; ; ; 4) ; ; ; . 4. Однородные системы уравнений. Определение 8. Система двух уравнений с двумя неизвестными вида называется однородной. Многочлены в левых частях уравнений системы являются однородными многочленами степени . Пример 7. Решить систему уравнений Решение. Положим , тогда из первого уравнения системы находим . Но пара чисел не является решением второго уравнения системы. Поэтому рассмотрим случай, когда . Разделим обе части первого уравнения на . Получим . Это уравнение вместе со вторым уравнением данной системы образует систему, равносильную исходной. Решая данное уравнение, имеем или , т.е. или . Тогда данная система равносильна совокупности двух систем: и Первая система этой совокупности не имеет действительных решений. Решив вторую систему совокупности, получим , тогда . Ответ. ; . В примере 7 рассмотрели однородную систему, в которой одно из чисел , равно . Если в однородной системе , , то надо такую систему свести к виду предыдущей (т.е. одно из чисел , равно ). Покажем это на примере. Пример 8. Решить систему уравнений Решение. Умножим первое уравнение системы на , а второе – на и сложим полученные уравнения. В результате имеем уравнение , которое вместе с первым уравнением системы образует систему, равносильную исходной. Пара чисел не является решением данной системы, значит можно перейти от последнего уравнения к следующему: . Решив его, получим или , т.е. или . Имеем совокупность двух систем: и Из первой системы получаем , . Вторая система имеет решения , . Ответ. ; ; ; . Пример 9. Решить систему уравнений Решение. Пара удовлетворяет системе. Пусть . Разделим на оба уравнения системы, получим откуда находим Значит, . Положим , тогда . Заметим, что при имеем и . Решения данной системы запишем парой вида , где . Ответ. , . Рассмотрим примеры систем, в которых левые части уравнений являются однородными многочленами степени выше второй. Пример 10. Решить систему уравнений Решение. Разложим левые части уравнений на множители Разделим уравнения последней системы почленно, в результате получим уравнение . Полученное уравнение вместе с первым уравнением данной системы образует систему, равносильную исходной. Положим , получим , откуда , , т.е. , . Если , то из первого уравнения системы находим и поэтому . Аналогично, если , то , . Ответ. ; . Замечание. Систему уравнений в примере 10 можно было решить, используя тот же прием, что и в примере 8. А именно, первое уравнение системы помножить на , второе – на и сложить. Получим уравнение , далее обе части уравнения можно разделить на . Уравнение, полученное в результате таких преобразований, и первое уравнение данной системы образуют систему, равносильную исходной. Затем решаем кубическое уравнение относительно . Однако приведенное выше решение примера 10, через разложение левых частей уравнений на множители и равносильных преобразований с этими уравнениями, привело к решению квадратного уравнения, решить которое проще кубического. Пример 11. Решить систему уравнений Решение. Выполним алгебраическое сложение уравнений системы, предварительно помножив первое уравнение на , а второе – на . Получим уравнение, которое со вторым уравнением системы образуют систему, равносильную исходной: Как и в предыдущих примерах, первое уравнение системы можно разделить на . В результате получим уравнение четвертой степени, решение которого громоздко. Однако, решив его и реализовав план решения системы, описанный в предыдущих примерах, получим ответ. Но дана симметрическая система, а значит, с помощью введения новых неизвестных может быть преобразована к более простому виду. Покажем это. Пусть , , тогда имеем систему и т.д. Решая исходную систему любым из предложенных способов, получим ; ; ; . Ответ. ; ; ; . Пример 12. Решить систему уравнений Решение. Первое уравнение системы однородно, но заметим, что все члены его левой части делятся на . Поэтому данную систему заменим равносильной ей совокупностью двух систем уравнений и Решая первую систему совокупности, находим , ; , . Процесс решения второй системы известен, ей удовлетворяют четыре пары чисел: Ответ. ; ; ; ; ; . Упражнения Решите системы приведением одного из уравнений системы к однородному относительно 1) 3) 2) 4) Ответы: 1) ; ; ; ; 2) , ; 3) ; ; 4) ; ; ; ; ; . 5. Метод Гаусса (решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных). Пример 13. Решить систему уравнений Решение. Умножим первое уравнение системы на и сложим полученное уравнение со вторым. Далее умножим первое уравнение на и сложим с третьим. Умножим первое уравнение на и полученное уравнение сложим с четвертым. Тогда данная система примет вид Преобразования проводились для того, чтобы получить систему, которая содержит неизвестную только в первом уравнении, а из остальных уравнений исключим. Первое уравнение системы оставляем, а последние три уравнения системы преобразуем так, чтобы из третьего и четвертого уравнений исключить . Умножим второе уравнение последней системы на и сложим с третьим уравнением. Умножим второе уравнение на и сложим с четвертым. В результате получим систему Умножим третье уравнение последней системы на и полученное уравнение сложим с четвертым. Система примет вид Из последней системы находим , затем из третьего уравнения получаем , из второго уравнения , из первого уравнения находим . Ответ. . Все преобразования, использованные при решении примера 13, равносильны, т.к. основаны на теореме 4. Метод, которым решена система, называется методом Гаусса. Его суть состоит в следующем. Поступая подобным образом (как при решении примера 13) с произвольной системой линейных уравнений с неизвестными, можно установить, что она совсем не имеет решений, или привести ее к равносильной системе вида где . Если , т.е. последнее уравнение имеет вид , то система в этом случае имеет единственное решение (пример 13). Если , то произвольное решение системы находится так: неизвестным , ,…, можно придать произвольные значения, а значения неизвестных , ,…, вычисляются последовательно из уравнений системы. Покажем это на примере. Рассмотрим систему уравнений из примера 13, исключив последнее уравнение. Пример 14. Решить систему уравнений Решение. Проведем преобразования с системой, аналогичные преобразованиям в предыдущем примере. Получим систему Общее решение системы получаем, считая произвольным, а , , найдем из уравнений системы. ; ; . Ответ. , где . Бесконечно много решений может получиться, когда система имеет столько же уравнений или больше, чем неизвестных. Пример 15. Решить систему уравнений Решение. Умножим первое уравнение на и сложим полученное уравнение со вторым. Далее первое уравнение сложим с третьим и, наконец, умножив первое уравнение на , сложим с четвертым. Имеем систему Продолжив выкладки, получим Четвертое уравнение системы вида не записываем, тогда система имеет вид Общее решение системы получаем, считая произвольным: , , . ^ . , . Пример 16. Решить систему уравнений Решение. Произведем преобразования с уравнениями системы, соответствующие методу Гаусса. В результате получим систему, равносильную исходной Эта система не имеет решений, т.к. из второго уравнения имеем , а из третьего уравнения получаем, что . Последние равенства одновременно быть верными не могут. Ответ. Нет решений. Упражнения Решить системы уравнений методом Гаусса 1) 3) 2) 4) Ответы. 1) ; 2) ; 3) нет решений; 4) 6. Некоторые приемы, сводящие решение системы к известным методам. Пример 17. Решить систему уравнений Решение. Возведем обе части первого уравнения в квадрат: Тогда после преобразований первое уравнение перепишется так: Исходная система примет вид Вычтем из первого уравнения второе, умножим оба уравнения на и выделим в полученном выражении полные квадраты , откуда следует, что . Из первого уравнения данной системы получаем, что . Сделаем проверку и убедимся, что числа , , являются решениями исходной системы. ^ . . Пример 18. Решить систему уравнений Решение. Перемножив уравнения системы, получим , значит, . Данная система равносильна совокупности двух систем: и Решим первую систему , или , . Из второй системы находим , или , . Ответ. ; ; ; . Пример 19. Решить систему уравнений Решение. Первое уравнение системы запишем в виде . Решим это уравнение как квадратное относительно : , , . Следовательно, данная система равносильна совокупности двух систем и Решая первую систему, находим , ; , , из второй - , . Ответ. ; ; . Пример 20. Решить систему уравнений Решение. Если , то из системы имеем , и наоборот, т.е. пара - решение системы. Пусть , тогда разделим уравнения системы почленно , далее преобразуем к виду . Сделаем замену и решим уравнение , , . При система равносильна исходной. Если , то . Из второго уравнения последней системы, при условии , ; . Если , то , тогда , . Ответ. ; ; . Упражнения Решить системы уравнений 1) Указание: с помощью алгебраического сложения уравнений исключите и решите полученное квадратное уравнение относительно .3) Указание: разделите уравнения системы почленно.2) Указание: перемножьте уравнения системы.4) Указание: возведите второе уравнение в квадрат и, используя его, первое уравнение представьте как квадратное относительно . Ответы. 1) ; ; ; ; 2) ; ; 3) ; 4) ; ; ; . Упражнения Решите системы уравнений 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) Ответы 1) ; ; ; ; 2) ; ; ; ; 3) ; ; 4) нет решений; 5) ; ; ; ; 6) ; ; ; ; 7) ; 8) ; ; ; ; 9) ; 10) ; ; 11) ; ; ; ; ; ; ; ; 12) ; ; ; ; 13) ; ; ; ; 14) ; 15) , ; 16) нет решений; 17) ; ; 18) ; ; 19) ; ; ; 20) ; ; ; ; 21) ; ; ; 22) ; 23) нет решений; 24) ; ; 25) ; 26) ; ; ; ; 27) ; ; 28) ; ; ; ; ; ; ; ; 29) ; ; ; ; ; 30) ; ; ; . Список литературы
Содержание Введение…………………………………………………………………………..3 Основные теоретические положения…………………………………………...4 Методы решения систем уравнений…………………………………………….5
методам………………………………………………………………..16 Упражнения……………………………………………………………………..18 Ответы…………………………………………………………………………...19 Список литературы……………………………………………………………..21 |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Месячник учителей математики, физики и информатики. (зам дир по увр арсанова Р. Ш.) | | |
 | Методическое объединение учителей математики работает со дня открытия школы с 1972 года. В его состав входят 5 учителей математики,... | | Методическое объединение учителей математики и физики работа по принятому плану. В течение года мо работала над проблемой «Развитие... |
| Белорусский государственный университет Факультет прикладной математики и информатики | | Консультант по применению здоровьесберегающих технологий в образовательном процессе |
| Обязательный курс для студентов 3 курса, кафедры ио, мс, мк, оу, читается в 6 семестре. Лекции 64 часа. Экзамен в 6 семестре. За... | | Место работы, должность: Озёрский филиал мбоу «Никифоровская сош №2» учитель математики и физики |
| Место работы, должность: Озёрский филиал мбоу «Никифоровская сош №2» учитель математики и физики | | С 25 по 30 ноября – целую неделю! – вся наша школа будет насквозь пропитана духом математики и информатики! Это грандиозное мероприятие... |