Тема: Решение задач при помощи квадратных уравнений. Теорема Виета

Тема: Решение задач при помощи квадратных уравнений. Теорема Виета (8 класс). Цели: Систематизировать знания учащихся по теме "Теорема Виета" и "Квадратные уравнения". Закрепить умение применять изученные правила при решении уравнений и задач. Содержание урока. I. Целеполагание. Актуализация опорных знаний. Учитель: В этом году учащиеся вашего класса закончили работу над проектом "Поэзия в математике". Собранный материал оформили в сборник материалов, куда включены задачи в стихах, математические правила, понятия в стихах, стихи о математике и математиках. Сегодня на уроке мы решим несколько задач из данного сборника. Фронтальный опрос учащихся. 1. Какие уравнения называются квадратными? 2. Виды квадратных уравнений. 3. Формула корней квадратного уравнения. 4. Какое уравнение называется приведенным квадратным уравнением? 5. Формула корней приведенного квадратного уравнения при р – четном. х2 + рх + q = 0. . Формула запомнится надолго, если выучить ее в стихотворной форме: Р со знаком взяв обратным, На два мы его разделим И от корня аккуратно Плюсом, минусом отделим, А под корнем, очень кстати, Половина Р в квадрате, Минус «ку» - и вот решенье Небольшого уравненья. 6. Как читается теорема Виета? Прочитать теорему, обратную теореме Виета. 7.Записать теорему Виета для уравнения ах2 + bх + c = 0. х1 + х2 =; х1 ∙ х2 =. ^ ТЕОРЕМА ВИЕТА По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни - и дробь уж готова: В числителе с, в знаменателе а, А сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь эта, Что за беда – В числителе b , знаменателе а. И. Дырченко. ^ II. Немного истории. Для квадратного уравнения Виет формулировал свою теорему так: "Если В + D, умноженное на А минус А2 , равно В ∙ D, то А равно В и равно D". Виет прописными гласными буквами обозначал неизвестные величины (то, что мы обозначаем через х, у него – А), а коэффициенты уравнения прописными согласными буквами В и D. (В + D) ∙ А – А2 = В ∙ D. Проверим: (2 + 3) ∙ А – А2 = 2 ∙ 3; А2 – 5А + 6 = 0. А = В = 2 А = D = 3. Сформулируем утверждение Виета в современных обозначениях. (b + d) ∙ x – x2 = b ∙ d. Обозначим b + d = – p; b ∙ d = q получим ­– х2 – рх – q = 0 или х2 + рх + q = 0. Это теорема, обратная теореме Виета. Решим задачу на теорему Виета. Найдите коэффициент q квадратного уравнения х2 + 5х + q = 0, если известно, что корни х1 и х2 связаны соотношением х12 +х22 = 7. Решение. х1 +х2 = –5. Возведем в квадрат: х12 +х22 + 2 х1х2 = 25; 7 + 2 х1х2 = 25; 2 х1х2 = 18; х1х2 = 9; q = 9. III. Решение задач. 1. ЗАДАЧА БХАСКАРЫ (1114 г) На две партии разбившись, Забавлялись обезьяны. Часть восьмая их в квадрате В роще весело резвилась; Криком радостным двенадцать Воздух свежий оглушали. Вместе сколько, ты мне скажешь, Обезьян там было в роще? Решение. Количество обезьян выразим через х. По условию задачи получим уравнение ; ; ; х1 = 16; х2 = 48. Оба ответа удовлетворяют условия задачи. 2. ДВА ПУТНИКА /По задаче Л. Керрола/ Из пунктов А и В примерно Два путника навстречу шли; И при движеньи равномерном Они друг друга обошли. А после встречи, продвигаясь, Один часов шестнадцать шел, Второй же, к пункту В шагая, За девять часиков дошел. Теперь же, юный математик, Подумать надо и найти: Какое время каждый путник Затратил на своем пути? Решение. х(ч.) – время до встречи. (х + 16) ч. – время, затраченное первым путником; (х + 9) ч. – время, затраченное вторым путником; Принимая путь за единицу, имеем: (км/ч.) – скорость первого путника; (км/ч.) – скорость второго путника. После встречи первым путником пройден путь (км.). А вторым – (км.). Сумма путей приравнивается к единице. ; 16х + 144 + 9х + 144 = х2 + 25х + 144; х2 = 144; х = 12; Ответ: 12 + 16 = 28 (ч.) – время первого путника; 12 +9 = 21 (ч.) – время второго путника. ^ 3. СКОЛЬКО СТРАНИЦ В КНИГЕ? Середина книги. «С» и «Д» - так я назвал ее страницы. «Е» и «F» - страницы после «Д» А перед «С» – «А» и «В» страницы. Когда я «А» на «В» умножил Ответ отметил буквой N. «Е» и «F» страницы перемножил И обозначил буквой М От М отнял я N, и вот Какая разность получилась: Та разность - тысяча семьсот, Она то нам и пригодилась. Теперь же, юный математик, Путем решения пойди, И сколько всех страничек в книге, По этой разности найди. Решение. (Наблюдения показали, что учащиеся при анализе задачи вдумываются в смысл предложений, улавливая связь с неизвестными значениями величин. Большинство пришли к выводу выражения страницы через х.) Итак, страницу "С" обозначают через х, а страницы "Д", "Е", "F" последовательно обозначили: х + 1, х + 2, х + 3, а страницы "А" и "В" – х – 2, х – 1. Составляется уравнение по условию задачи: (х + 2) (х + 3) – (х – 2) (х – 2) = 1700; х2 + 3х + 2х + 6 – х2 + х + 2х – 2 = 1700; 8х = 1700 – 4 = 1696; . Значит, середина книги страница "С" обозначена числом 212, стало быть, всего страниц в книге 212 ∙ 2 = 424. IV. Итог урока. 1. Самоанализ учащимися знаний, умений и навыков. 2. Выставление оценок. 3. Домашнее задание.

Похожие:

	Урок математики в 8-м классе по теме "Теорема Виета" Научить учащихся применять теорему Виета и ей обратную при решении квадратных уравнений		Программа для вступительных экзаменов на психологический факультет Определение многочлена. Теорема Виета. Решение квадратных уравнений. Разложение трехчлена на множители. Выделение полного квадрата....
	Конспект урока по алгебре в 8 а классе Тема:«Теорема Виета» Учащиеся записывают примеры перечисленных уравнений ( работа на интерактивной доске)		Урок составлен в соответствии с фгост и сдп. Тема: «Решение уравнений... Цели урока: Обобщить и систематизировать изученный материал и знания учащихся по теме: «Уравнения»
	Тема: Решение квадратных уравнений Эта тема очень важная в курсе математики, она является ступенькой в изучении более сложного материала. В старших классах будем решать...		Решение дифференциальных уравнений Цель работы — изучить возможности пакета Mathcad для решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений
	Решение задач в режимных моментах Решение задач в самостоятельной... Тема I недели «Здравствуй, зимушка-зима!» (признаки зимы, зимние забавы) -2я младшая группа		Методические указания к выполнению лабораторной работе «решение систем... В ряде практических задач управления и оптимизации приходится решать системы линейных алгебраических уравнений (слу). В настоящей...
	Решение занимательных задач по математике для учащихся 5 класса Решение этих задач отражено в программе математического кружка “Решение занимательных задач по математике” (34ч)		Урок по теме «Решение тригонометрических уравнений» Данный урок является уроком закрепления в теме «Решение тригонометрических уравнений»