«Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции»

10 класс Хасанова З.Ф. Урок – лабиринт ________________________________________________________________________ Тема: «Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции». Цели урока: Образовательные – обеспечить повторение, обобщение и систематизацию мате риала темы и создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений; Развивающие – способствовать формированию умений, применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления, внимания, памяти, т.е. активизация познавательной деятельности и формирование творческого подхода к решению задач. Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности. Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний. План урока. Организационный момент. Входной контроль. Блок информаций (Блок №1 - №5). Завершающий контроль (Блок №6). Подведение итогов урока. а). Выставление оценок за урок. б). Задание на дом. Учитель: Сегодня у нас урок обобщения и систематизации знаний. На предыдущих уроках мы рассмотрели обратные тригонометрические функции, знаем их графики, свойства и тождества для обратных тригонометрических функций, научились решать уравнения. Урок проведем в форме лабиринта. Давайте познакомимся с его условиями. Класс разбит на 4 группы и работают 2 консультанта. В лабиринте 4 маршрута. У каждой команды свой маршрут, эти листы имеются у каждой группы. Каждая команда должна пройти путь от края лабиринта до его центра, решая задачи на сравнение, обобщение, выделение главного, раскрытие идей решения некоторых уравнений, применяя полученные знания в нестандартных случаях и оценивая свои возможности, свои знания. Ворота каждого круга оцениваются определенным числом баллов. Число баллов указывает уровень сложности вопроса, чем сложнее вопрос, тем больше баллов за него начисляется. Каждая команда должна пройти путь от края лабиринта до его центра, набрав 15 баллов. В качестве подтверждения того, что команда прошла тот или иной круг, ей выдаются жетоны с указанием набранных баллов и в конце урока, по числу набранных баллов ставите себе оценку. Итак, отправляемся в путешествие по лабиринту. I – команда: 2 – 2 – 4 – 3 – 4 (=15) II – команда: 2 – 3 – 3 – 5 – 2 III – команда: 2 – 2 – 4 – 3 – 4 IV – команда: 2 – 3 – 3 – 4 – 3 А в качестве напутствия звучит стихотворение: Чтобы спорилось нужное дело, Чтобы в жизни не знать неудач, В лабиринт отправляемся смело – В мир загадок и сложных задач. Не беда, что идти далеко, И не бойтесь, что путь будет труден. Достижения крупные людям Никогда не давались легко! ^ Входной контроль. Учитель: Чтобы пройти первый круг лабиринта, надо вспомнить определение обратных тригонометрических функций. (Команды в конвертах получают задания и по очереди отвечают на вопрос, объясняя по графику). Например: Арксинус числа а называется такое число из отрезка [-π/2; π /2], синус которого равен а. График функции y= arcsin x получается из графика функции y= sin x c помощью осевой симметрии относительно прямой y= x. Итак, функция y= arcsin x определена и монотонно возрастает на отрезке [-1;1] и областью значений arcsin a является отрезок [-π/2; π /2]. После ответов на вопросы команды считаются прошедшими I круг лабиринта. ^ Блоки информаций. (Каждый блок содержит задания на сравнение, обобщение, выделение главного, раскрытие идей решения некоторых уравнений, предупреждение возможной ошибки, выделение общего алгоритма и другие). Блок №2. О чем идет речь? а) 1б б) 2б а) 1) arcsin = - π/4 3) arctg (-1)= 3π/4 2) arccos = 5π/6 4) arcctg (-1)= 3π/4 б) 1) arcsin 1 + arcsin= π/6 3) arcsin * arcsin = -π2/36 2) arccos * arccos (-1/2)= = -π2/12 4) arctg 1 + arctg = 5π/12 Каждая команда решает задания в зависимости от того, сколько баллов в воротах соответствующего круга своего маршрута. Если нужно набрать 3 балла, то выполняют оба задания. а). 3 равенство – неверное равенство. б). 3 – неверно. Блок №3. Где ошибка? а) 1б б) 2б в) 2б г) 3б а) 1) sin (arcsin)= 3) cos (arccos 3/2)= 3/2 2) tg (arctg)= 4) ctg (arcctg/3)= /3 б) 1) arcsin (sin 5/7)=5/7 3) arctg (tg π/3)= π/3 2) arccos (cos 5)= 5 4) arcctg (ctg 3π/4)= 3π/4 в) 1) arcctg (ctg π/6)= π/6 3) arcsin (sin 3)= 3 2) arctg (tg π/4)= π/4 4) arccos (cos π/2)= π/2 г) 1) tg (arctg 10)= 10 3) ctg (arcctg π)= π 2) arccos (cos 11 π/9)= 11π/9 4) sin (arcsin π/4)= π/4 ^ Тождества для обратных тригонометрических функций: 1) sin (arcsin a)= a, -1 a 1 2) cos (arccos a)= a, -1 a 1 3) tg (arctg a)= a, - < a < 4) ctg (arcctg a)= a, - < a < 5) arcsin (sin x)= x, -π/2 < x < π /2 6) arccos (cos x)= x, 0 < x < π 7) arctg (tg x)= x, -π/2 < x < π /2 8) arcctg (ctg x)= x, 0 < x < π Ответы: а). 3 равенство неверно, т.к. 3/2 [-1;1], равенство cos (arccos a)= a справедливо при | a | 1. б). Равенство arccos (cos x)= x справедливо только при условии 0 < x < π, т.к. число 5 не принадлежит отрезку [0; π], то этим равенством непосредственно пользоваться нельзя. Преобразуем: arccos (cos 5)= arccos (cos (-5))= arccos (cos (2 π -5)), т.к. 0 2π -5 π, то arccos (cos (2π -5))= 2π -5 в). 3 – неверно, т.к. arcsin (sin 3)= arcsin (sin (π -3))= π -3 г). 2 – неверное равенство. arccos (cos 11π/9)= arccos (cos (11π/9 – 2π +2π))= arccos (cos (11π/9 – 2π))= arccos (cos (-7π/9))= arccos (cos 7π/9))= 7π/9. Блок №4. ? Лишнее! ? Лишнее! а) 1б б) 2б б) 3б а) 1) arcctg x= 3π/4 3) arctg x= π /4 2) arccos x= π /6 4) arcsin x= 5 π /6 б) 1) 3 * arccos 2x= - π /5 3) ½ * arcctg (5 – 8x)= 2 π /3 2) arcsin (2x – 3)= π /2 4) arctg (4x + 9)= - π /6 в) 1) arctg (x – 1)= 3 π /4 3) arctg (x + 1)= 2 π /3 2) arcsin 2x= 5 π /6 4) arccos x/4= 3 π /4 Ответы: а). 4 уравнение не имеет решения, остальные уравнения имеют решения, т.к. их значения принадлежат области значения этих функций. б). 3 уравнение не имеет решения, т.к. 4 π /3 (0; π). в). 4 уравнение не имеет решения. Задания каждого блока рассматриваются на доске. У доски объясняет задание представитель той группы, которая должна набрать самое большее количество баллов. Блок №5. ? Особенное! ? Особенное! а) 2б б) 3б в) 4б а) 1) arccos (2x – 3)= π /2 3) arcsin2 x – 3 π /4 * arcsin x + π2/4= 0 2) arccos2 x – 3 π /4 * arccos x + π2/8= 0 4) arctg2 x – 5 π /12 * arctg x + π2/24= 0 б) 1) arcsin (x2 – 3x + ½)= π /6 3) arcsin (x2 – 4x + 3)= 0 2) arccos (x2 – 4x + 3)= π /2 4) arcsin (x2 – 4x + 2)= - π /2 в) 1) arcsin (x2 – 3x + ½)= π /6 3) arcsin (x2 – 4x + 2)= - π /2 2) arcsin2 x – π /2 * arcsin x + π2/8= 0 4) arccos (x2 + 4x – 1)= π /3 Ответы: а). 2, 3, 4 уравнения решаются методом замены, а 1 уравнение решается по определению. Решим это уравнение. arccos (2x – 3)= π /2 2x – 3= cos π /2 Ответ: x= 3/2 б). 1; 3; 4 уравнения даны через арксинус, а 2 уравнение через арккосинус. Решим это уравнение. arccos (x2 – 4x + 3)= π /2 Ответ: x1= 1; x2= 3. в). 1; 3; 4 уравнения решаются по определению, а уравнение 2 решается методом замены. Решим это уравнение. arcsin x= y y2 – π /2 * y + π 2/18= 0 Д= (π /6)2; Y1= π /6; y2= π /3 arcsin x= π /6 arcsin x= π /3 ^ Ответ: x1= 1/2 x2= /2 Учитель: Молодцы! Вы усвоили решение уравнений II-го уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях. Итак, мы дошли до центра. Когда команды оказываются в центре лабиринта, перед ними разворачивают плакат: Знания способны весь мир перевернуть, Там, где есть желание, всегда найдется путь! Учитель: Дойти до центра лабиринта – хорошо, но надо еще и выбраться из него. В этом Вам поможет кубик, каждая грань которого имеет определенное количество точек. Если кому-то выпадет грань с пятью точками – это «Счастливый случай», который дает Вам 5 баллов без вопросов и ответов. Кидают кубик поочередно. Всего для выхода из лабиринта каждой группе надо снова набрать 15 баллов. Если выпадет грань с тремя точками, то задания из 3-го конверта, грань с четырьмя точками – задания из конверта №4 и т.д. Там имеются задания, которые оцениваются в 5, 10 и 15 баллов, т.е. задания II-го и III-го уровня сложности, в случае затруднений можно пользоваться подсказками, данными ниже. Блок №6. ? Метод решения! Вариант – I 1) arcsin (x2 – 3x +1/2)= π /6 5б 2) 4 * arctg2 x + 5 π * arctg x + π2= 0 10б 3) arccos (2x3 + 3x2 + 0,1)= arccos (x + 2x2 + 0,1) 15б 4) arctg (2 * sin x)= arcctg (cos x) 15б Указание: 2) arctg= t; -π/2 < t < π /2 3) arccos f (x)= arccos g (x)  4) arctg f (x)= arcctg g (x) => f (x) * g (x)= 1 ? Метод решения! Вариант – II 1) arcsin (x2 – 4x + 2)= - π /2 5б 2) 3 * arctg2 x - 2 π * arctg x= π2 10б 3) arcsin (3x3 – x2 + 1)= arcsin (2x + 1) 15б 4) arcsin x * arccos x= π2 /18 15б Указание: 2) arctg x= t, - π /2 < t < π /2 3) arcsin f (x)= arcsin g (x)  4) arcsin x + arccos x= π /2 => arccos x= π /2 – arcsin x arcsin x= t, - π /2 < t < π /2 Кубик: ^ Вариант – I arcsin (x2 – 3x + ½)= π /6 x2 – 3x + ½= sin π /6 x2 – 3x + ½= ½ x2 – 3x= 0 x (x – 3)= 0 x=0 или x – 3= 0 x= 0 Ответ: {0;3} 4 * arctg2 x + 5 π * arctg x + π2= 0 arctg x= t 4t2 + 5 π * t + π2 = 0 Д= 25 π2 – 4 * 4 * π2= 9 π2= (3 π)2 t1,2= (-5 π + 3 π)/8; t1= - π; t2= - π /4 Ответ: {- /2}. arccos (2x3 + 3x2 + 0,1)= arccos (2x2 + x + 0,1) x * (2x2 + x – 1)= 0 x=0 или 2x2 + x – 1= 0 Д= 12 – 4 * 2 * (-1)= 9= 32 x2= (-1 – 3)/4= -1 (постоянный корень). x3= (-1 + 3)/4= ½ (постоянный корень). arctg (2sin x)= arcctg (cos x) => f (x) * g (x)= 1. 2sin * cos x= 1  sin2x= 1  2x= π /2 + 2 π n x= π /4 + π n, n z. Кубик: Вариант – II arcsin (x2 – 4x + 2)= - π /2 x2 – 4x + 2= -1 x2 – 4x + 3= 0 Д= 16 – 4 * 3= 4 x1,2= (4+2)/2; x1=1; x2=3 Ответ: {1;3}. 3 * arctg2 x – 2 π * arctg x= 2 π2 arctg x= t 3t62 – 2 π t – π2 = 0 Д= 4 π2 – 4 * 3 * (-π2)= 16 π2 = (4 π)2 t1,2= (2 π + 4 π)/6; t1= - π /3; t2= π arctg x= - π /3 => x= tg (-π /3)= - arctg x= π не имеет решения. Ответ: - 3.arcsin (3x3 – x2 + 1)= arcsin (2x + 1) x * (3x2 – x – 2)= 0 x= 0 или 3x2– x – 2= 0 Д= 1 – 4 * 3 * (-2)= 25= 52 x1,2= (1 + 5)/6; x1= -2/3; x= 1 (постоянный корень). Ответ:{0;-2/3} 4). arcsin x * arccos x= π2/18 arccos x= π /2 – arcsin x arcsin x * (π /2 – arcsin x)= π 2/18 π /2 * arcsin x – arcsin2 x – π 2/18= 0 пусть arcsin x= t; | t | < π /2 18 * arcsin2 x – 9 π * arcsin x + π 2= 0  тогда t1.2= (9 π + 3 π)/36; t1= π /6; t= π /3. Ответ: {1/2;/2}. После проверки последнего задания (даются правильные ответы) по шкале оценок каждая группа ставит себе оценку в оценочный лист группы, а решение 6-го задания сдают на проверку. В зависимости от полученного результата учащиеся получают задания на дом. I уровень: №158 – 160 (кол.). II уровень: №2.5.31, №2.5.32. Сборник заданий (УНГТУ), №2.5.36. №2.5.31. arccos (x *) + arccos x= π /2 №2.5.32. arcsin (1 + 2 * cos x) + arccos (1 + 3 * tg x)= π /2 № 2.5.36. arcsin (π /6 + ctg x) + arccos (π /6 + tg x)= π /2 В конце занятия учитель награждает грамотой лучшую группу, а оценки ставятся в зависимости от числа набранных жетонов. Оценка за весь модуль зависит от суммы баллов по всем учебным блокам.

Похожие:

	Оказание помощи студентам факультета математики, информатики и физики... «Системы уравнений». На эту тему отдельных часов в программе не выделено, она изучается в рамках тех занятий курса «Элементарная...		Тема: Решение квадратных уравнений Эта тема очень важная в курсе математики, она является ступенькой в изучении более сложного материала. В старших классах будем решать...
	Решение дифференциальных уравнений Цель работы — изучить возможности пакета Mathcad для решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений		Урок составлен в соответствии с фгост и сдп. Тема: «Решение уравнений... Цели урока: Обобщить и систематизировать изученный материал и знания учащихся по теме: «Уравнения»
	Урок по теме «Решение тригонометрических уравнений» Данный урок является уроком закрепления в теме «Решение тригонометрических уравнений»		Методические указания к выполнению лабораторной работе «решение систем... В ряде практических задач управления и оптимизации приходится решать системы линейных алгебраических уравнений (слу). В настоящей...
	7. Системы эконометрических уравнений Виды систем регрессионных уравнений Любая экономическая система – это сложная система с множеством входов, выходов и сложной структурой взаимосвязей показателей, характеризующих...		Программа для вступительных экзаменов на психологический факультет Определение многочлена. Теорема Виета. Решение квадратных уравнений. Разложение трехчлена на множители. Выделение полного квадрата....
	Тема: Решение задач при помощи квадратных уравнений. Теорема Виета Систематизировать знания учащихся по теме "Теорема Виета" и "Квадратные уравнения"		«Решение уравнений» В данном методическом пособии предложены рекомендации по проведению недели математики в средней школе, предложены сценарные разработки...